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En análisis matemático, un conjunto nulo $N\subset \mathbb {R}$ es un conjunto medible que tiene medida cero. Se puede caracterizar como un conjunto que puede ser recubierto mediante una unión numerable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.

La noción de conjunto nulo no debe confundirse con la de conjunto vacío como se define en teoría de conjuntos. Aunque el conjunto vacío tiene medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son conjuntos nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene la medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.

De manera más general, en un espacio de medida $M=(X,\Sigma ,\mu )$ dado, un conjunto nulo es un conjunto $S\subset X$ tal que $\mu (S)=0$ .

Ejemplo

Cada subconjunto finito o numerablemente infinito de los números reales es un conjunto nulo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales y el conjunto de números racionales son numerablemente infinitos y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se consideran subconjuntos de los números reales.

El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo incontable.

Definición

Supóngase que $A$ es un subconjunto de la recta real $\mathbb {R}$ tal que

\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,

donde $U n$ son intervalos y $| U |$ es la longitud de $U$ . Entonces $A$ es un conjunto nulo,^[1] también conocido como un conjunto de contenido cero.

En la terminología del análisis matemático, esta definición requiere que haya una sucesión (matemática) de recubrimiento de $A$ para la que el límite de las longitudes de los recubrimientos sea cero.

Propiedades

El conjunto vacío es siempre un conjunto nulo. De manera más general, cualquier unión numerable de conjuntos nulos es un conjunto nulo. Cualquier subconjunto medible de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo. Juntos, estos hechos muestran que los conjuntos m-nulos de X forman un ideal sigma en X. De manera similar, los conjuntos m-nulos mensurables forman un ideal sigma del σ-álgebra de conjuntos mesurables. Por lo tanto, los conjuntos nulos se pueden interpretar como conjuntos insignificantes, definiendo la noción de casi en todas partes.

Medida de Lebesgue

El Medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar un longitud, área o volumen a subconjuntos de Espacio euclídeo.

Un subconjunto N de $\mathbb {R}$ tiene una medida de Lebesgue nula y se considera un conjunto nulo en $\mathbb {R}$ si y solo si:

Cuantificador universal signo (matemáticas) ε , there is a sucesión (matemática)

{I n}

de intervals en

\mathbb {R}

tal que N está contenido en la unión de

{I n}

y la longitud total de la unión es menor que ε .

Esta condición se puede generalizar a $\mathbb {R} ^{n}$ , usando n - cubes en lugar de intervalos. De hecho, la idea puede tener sentido en cualquier Variedad de Riemann, incluso si no hay una medida de Lebesgue allí.

Por ejemplo:

Con respecto a $\mathbb {R} ^{n}$ , todos los singleton set son nulos y, por lo tanto, todos los conjunto numerable son nulos. En particular, el conjunto Q de número racionals es un conjunto nulo, a pesar de ser dense en $\mathbb {R}$ .
La construcción estándar del Conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto no numerable nulo en $\mathbb {R}$ ; sin embargo, son posibles otras construcciones que asignan al conjunto de Cantor cualquier medida.
Todos los subconjuntos de $\mathbb {R} ^{n}$ cuyo dimensión es menor que n tienen una medida de Lebesgue nula en $\mathbb {R} ^{n}$ . Por ejemplo, las líneas rectas o los círculos son conjuntos nulos en $\mathbb {R} ^{2}$ .
Teorema de Sard: el conjunto de critical value de una función suave tiene medida cero.

Si λ es la medida de Lebesgue para $\mathbb {R}$ y π es la medida de Lebesgue para $\mathbb {R} ^{2}$ , entonces product measure $\lambda \times \lambda =\pi$ . En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado Teorema de Fubini:^[2]

Para $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ y $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$ $\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.$

Utiliza

Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de Lebesgue integral: si las funciones $f$ y $g$ son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces $f$ es integrable si y solo si $g$ lo es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de $L p$ spaces como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren solo en conjuntos nulos.

Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es complete . Cualquier medida incompleta se puede completar para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones, se define como la finalización de un Borel measure incompleto.

===Un subconjunto del conjunto de Cantor que no es=== medible por Borel La medida de Borel no está completa. Una construcción simple es comenzar con el estándar Conjunto de Cantor $K$ , que es cerrado por lo tanto Borel medible, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto $F$ de $K$ que no es Borel medible. (Dado que la medida de Lebesgue está completa, este $F$ es, por supuesto, medible según Lebesgue).

Primero, tenemos que saber que todo conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no medible. Sea $f$ el Función de Cantor, una función continua que es localmente constante en $K c$ y aumenta monótonamente en [0, 1], con $f (0) = 0$ y $f (1) = 1$ . Obviamente, $f (K c)$ es contable, ya que contiene un punto por componente de $K c$ . Por lo tanto, $f (K c)$ tiene medida cero, por lo que $f (K)$ tiene medida uno. Necesitamos un función monótona estrictamente, así que considere $g (x) = f (x) + x$ . Dado que $g (x)$ es estrictamente monótono y continuo, es un homeomorfismo. Además, $g (K)$ tiene la medida uno. Sea $E \subset g (K)$ no medible y sea $F = g -1 (E)$ . Debido a que $g$ es inyectivo, tenemos ese $F \subset K$ , por lo que $F$ es un conjunto nulo. Sin embargo, si fuera Borel medible, entonces $g (F)$ también sería Borel medible (aquí usamos el hecho de que el preimage de un Borel establecido por una función continua es medible; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ es la preimagen de F a través de la función continua $h = g -1$ .) Por lo tanto, $F$ es un conjunto medible nulo, pero no Borel.

Haar null

En un separable Espacio de Banach $(X, +)$ , la operación de grupo mueve cualquier subconjunto $A \subset X$ al traduce $A + x$ para cualquier $x \in X$ . Cuando hay un probability measure $μ$ en el σ-álgebra de Borel subsets de $X$ , tal que para todo $x$ , $μ (A + x) = 0$ , $A$ es un conjunto nulo de Haar.^[3]

El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traduce, asociándola con la invariancia completa encontrada con Medida de Haar.

Algunas propiedades algebraicas de grupo topológico se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar.^[4] Se han utilizado conjuntos nulos de Haar en Polish group para mostrar que cuando $A$ no es un meagre set, $A -1 A$ contiene una vecindad abierta de elemento neutro.^[5] Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus ya que es la conclusión de Steinhaus theorem.

==Ver también==* Función de Cantor

References

↑ Franks, John (2009). A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library 48. American Mathematical Society. p. 28. ISBN 978-0-8218-4862-3. doi:10.1090/stml/048.
↑ van Douwen, Eric K. (1989). «Fubini's theorem for null sets». American Mathematical Monthly 96 (8): 718-21. JSTOR 2324722. MR 1019152. doi:10.1080/00029890.1989.11972270.
↑ Matouskova, Eva (1997). «Convexity and Haar Null Sets». Proceedings of the American Mathematical Society 125 (6): 1793-1799. JSTOR 2162223. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. Parámetro desconocido |doi-access= ignorado (ayuda)
↑ Solecki, S. (2005). «Sizes of subsets of groups and Haar null sets». Geometric and Functional Analysis 15: 246-73. MR 2140632. S2CID 11511821. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. Parámetro desconocido |citeseerx= ignorado (ayuda)
↑ Dodos, Pandelis (2009). «The Steinhaus property and Haar-null sets». London Mathematical Society 41 (2): 377-44. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. MR 4296513. S2CID 119174196. arXiv:1006.2675. doi:10.1112/blms/bdp014.