Función de Cantor

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En matemáticas, la función de Cantor, llamada así en honor de Georg Cantor, es un ejemplo de función matemática que es continua pero no absolutamente continua. También se la conoce como la escalera del Diablo.

La función de Cantor guarda una estrecha relación con el conjunto de Cantor.

Definición[editar]

La función de Cantor c: [0,1] \rightarrow [0,1] se define como sigue:

  1. Expresa x en base 3. Si es posible, no uses ningún 1 (esto sólo supone una diferencia si la expansión termina en 022222... = 100000... or 200000... = 122222...).
  2. Sustituye el primer 1 por un 2 y todo lo demás a partir de él por un 0.
  3. Sustituye todos los 2 por 1.
  4. Interpreta el resultado como un número binario. El resultado es c(x).

Por ejemplo:

  • 1/4 se convierte en 0.02020202... base 3; no hay unos así que el siguiente paso es todavía 0.02020202...; esto se reescribe como 0.01010101...; leído en base 2, esto es 1/3 así que c(1/4) = 1/3.
  • 1/5 se convierte en 0.01210121... base 3; el primer uno se cambia a 2 seguido de ceros para producir 0.02000000...; esto se reescribe como 0.01000000...; leído en base 2, esto es 1/4 así que c(1/5) = 1/4.

Es mucho más fácil comprender la definición si miramos al gráfico siguiente:

CantorFunction.svg

Propiedades[editar]

  • La función de Cantor desafía la intuición más ingenua sobre la continuidad y la medida; aunque es continua en todos los puntos y tiene derivada cero en casi todo punto, c va de 0 a 1 a medida que x va de 0 a 1, y toma todos los valores intermedios. La función de Cantor es el ejemplo más comúnmente citado de una función real que es uniformemente continua (y por tanto también continua) pero no absolutamente continua. No tiene derivada en ningún punto del conjunto de Cantor; es constante en los intervalos de la forma:
 ( 0.x_1 x_2 x_3 \ldots
    x_n 022222 \ldots,
    0.x_1 x_2 x_3 \ldots
    x_n 200000 \ldots)
y cualquier punto que no esté en el conjunto de Cantor está en uno de dichos intervalos, conque su derivada fuera del conjunto de Cantor es cero.

Definiciones alternativas[editar]

Construcción iterativa[editar]

Cantor function sequence.png

A continuación se define una sucesión \{f_n\} de funciones sobre el intervalo unidad que converge a la función de Cantor.

Sea f_0(x)=x. Entonces para cada entero n \ge 0, la siguiente función f_{n+1}(x) se definirá en términos de f_n(x) como sigue:


   f_{n+1}(x) =
   \begin{cases}
       0,5 \times f_n(3x)         & \text{si } 0 \le x \le 1/3 \\
       0,5                        & \text{si } 1/3 < x \le 2/3 \\
       0,5 + 0,5 \times f_n(3x-2) & \text{si } 2/3 < x \le 1
   \end{cases}

En realidad los tres casos son compatibles en los extremos 1/3 y 2/3, porque f_n(0)=0 y f_n(1)=1 para todo n, por inducción. Se puede comprobar que f_n converge puntualmente a la función de Cantor definida anteriormente. Más aún, la convergencia es uniforme. En efecto, separando los tres casos, en consonancia con la definición de f_{n+1}, se puede ver que:


   \max_{x \in [0, 1]} |f_{n+1}(x) - f_n(x)|
   \; \le \;
   \frac 1 2 \, \max_{x \in [0, 1]} |f_{n}(x) - f_{n-1}(x)|
   \; , \quad
   n \ge 1

Si f denota la función límite, se sigue que, para todo n \ge 0,


   \max_{x \in [0, 1]} |f(x) - f_n(x)| \le 2^{-n+1} \,
   \max_{x \in [0, 1]} |f_1(x) - f_0(x)|

Nótese también que la elección de la función inicial no importa realmente, siempre y cuando f_0(0)=0, f_0(1)=1 y f_0 esté acotada.

Volumen fractal[editar]

La función de Cantor está estrechamente relacionada con el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor C puede definirse como el conjunto de los números del intervalo [0,1] que no contienen el 1 en su desarrollo en base tres. Resulta que el conjunto de Cantor es un fractal con infinitos (no numerable) puntos (volumen de dimensión cero), pero longitud cero (volumen de dimensión uno). Sólo el volumen D-dimensional  H_D (en el sentido de la medida Hausdorff) toma un valor finito, donde:


   D =
   \cfrac{\log(2)}{\log(3)}

es la dimensión fractal de C. Podemos definir la función de Cantor alternativamente como el volumen D-dimensional de las secciones del conjunto de Cantor


   f(x) =
   H_D(C \cap (0,x))

Generalizaciones[editar]

Sea

    y = \sum_{k=1}^\infty b_k 2^{-k}

un desarrollo diádico del número 0 \le y \le 1 en términos de dígitos binarios b_k = \{0,1\}. Ahora consideremos la función

       C_z(y) =    \sum_{k=1}^\infty b_k z^{k}

Para z=1/3, la inversa de la función x = (2/3) C_{1/3}(y) es la función de Cantor. Esto es, y=y(x) es la función de Cantor. En general, para cualquier z<1/2, C_z(y) tiene un aspecto similar a la función de Cantor puesta de lado, con la anchura de los pasos aumentando a medida que z se aproxima a cero.

La función interrogación de Minkowski se parece visualmente a la función de Cantor, como si fuera una función de Cantor «suavizada», y puede construirse pasando de una expansión en fracciones continuas a una expansión binaria, de la misma forma que la función de Cantor puede construirse pasando de una expansión ternaria a una expansión binaria. La función interrogación posee la interesante propiedad de tener derivadas que se anulan en todos los números racionales.

Enlaces externos[editar]