Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.^[1]

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$ , y la medida de la hipotenusa es $c\,$ , se formula que:

(1) $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}

b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

Historia

Respecto de los babilonios hay esta nota:

Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.

^[2]

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.^[3] La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales

**Triángulos — Resumen de convenciones de designación**
Vértices	${\text{A}}$	${\text{B}}$	${\text{C}}$
*Lados (como segmento)*	${\text{BC}}$	${\text{AC}}$	${\text{AB}}$
*Lados (como longitud)*	$a$	$b$	$c$
Ángulos	${\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}}$	${\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}$	${\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}$

Demostraciones

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: El Zhou Bi Suan Jing, y el Jiu Zhang Suan Shu

El Zhou Bi es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiu Zhang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,

Ya que $(b-a)^{2}=(a-b)^{2}\,$ .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

c^{2}=4\cdot \left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)+a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+b^{2}

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[4]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

{\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}

b^{2}\ =\ b'c

De la semejanza entre ABC y BHC:

{\frac {a}{a'}}={\frac {c}{a}}

a^{2}\ =\ a'c

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

a^{2}\ +\ b^{2}=a'c\ +\ b'c\ =\ c\left(a'+b'\right)

Pero $\left(a'+b'\right)=\ c$ , por lo que finalmente resulta:

a^{2}\ +\ b^{2}=c^{2}

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

{\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

S_{PQR}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(rs\right)

S_{PST}\ =\ {\frac {1}{2}}\left(uv\right)

obtenemos después de simplificar que:

{\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}\cdot {\frac {s}{v}}

pero siendo ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ la razón de semejanza, está claro que:

{\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}}=\left({\frac {r}{u}}\right)^{2}=\left({\frac {s}{v}}\right)^{2}

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

{\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

{\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{BCH}}{a^{2}}}={\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

{\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}

{\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{ABC}}{c^{2}}}

pero según (I) ${\frac {S_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}$ , así que:

{\frac {S_{ACH}+S_{BCH}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {S_{ABC}}{c^{2}}}

y por lo tanto:

b^{2}\ +\ a^{2}\ =\ c^{2}

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( $c^{2}$ ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul ( $b^{2}+a^{2}$ ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.^[7] De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47^[8] de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41^[5] de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Véase (en la Figura Euclides 3) que:

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41^[5] de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: «la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa».

Demostración de Pappus

Unos 625 años después que Euclides, Pappus^[9] parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.36^[6] de Los Elementos de Euclides:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n– resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Bhaskara

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, dio la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

c^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+(a-b)^{2}

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , y el teorema queda demostrado.

Demostración de Leonardo da Vinci

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Garfield

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,^[10] desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

(g.1) $S_{\text{trapecio}}={\frac {a+b}{2}}\cdot (a+b)$

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

(g.2) $S=2\cdot {\frac {ab}{2}}+{\frac {c^{2}}{2}}$

igualando la ecuación (g.2) con la (g.1) obtenemos:

(ab)+{\frac {c^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}(a+b)\cdot (a+b)

multiplicando ambos lados por $2$ y simplificando...

2ab+c^{2}=(a+b)^{2}\,

expandiendo el miembro derecho...

2ab+c^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,

restando $2ab$ a ambos miembros, finalmente nos da:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

y el teorema está demostrado.

Prueba mediante un geoplano

Es posible, más que una demostración de carácter genérico, la comprobación de la justeza de la proposición mediante un geoplano, únicamente para casos especiales y concretos, previamente conocidos. ^[11]

Proposición recíproca del teorema de Pitágoras

Si en un triángulo ABC, siendo el lado mayor a se cumple que $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ entonces el triángulo es rectángulo. ^[12]

Ejemplos de uso

Para calcular la longitud e de una escalera; se conoce la altura h del muro a alcanzar; la distancia p desde la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación $e^{2}=h^{2}+p^{2}$ ; se despeja el valor de e, mediante $e={\sqrt {h^{2}+p^{2}}}.$ ^[13]

En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos $C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2})$ con la igualdad $CD^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.$ ^[14]

En trigonometría para demostrar la identidad fundamental $\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ entre el seno y coseno.^[15]
En la geometría para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado; para obtener la altura del tetraedro regular usando la arista. Para hallar el apotema de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.^[16]

En teoría algebraica de números para analizar si un entero gaussiano es primo gaussiano. Por ejemplo $\alpha =1+4i$ , cuya norma es $N(\alpha )=1^{2}+4^{2}=17.$ ^[17]

Véase también

Notas

↑ Ribnikov. Historia de la matemática. editorial Mir. Moscú.
↑ Julio Rey Pastor y José Babini. Historia de la matemática, pág. 22; ISBN 84-7432-807-1
↑ Marc-Alain Ouaknin. El misterio de las cifras, pp 221-224. ISBN 9788496222465
↑ Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.
↑ ^a ^b ^c ^d Euclides Los Elementos, proposición I.41 → «Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.»
↑ ^a ^b ^c Euclides Los Elementos, proposición I.36 → «Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.»
↑ Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.
↑ Euclides Los Elementos, proposición I.47 → «En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.»
↑ Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.
↑ James A. Garfield murió el 19 de septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de julio del mismo año. Fue el segundo Presidente asesinado, después de Abraham Lincoln. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámara de Representantes.
↑ Ángel GUTIÉRREZ ( editor) Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. ISBN 84-7738-137-2
↑ Pogorélov. Geometría elemental
↑ Posible aplicación, con diversas variantes y contextualidades, en el mundo real.
↑ Carles Lehman: Geometría analítica
↑ Fleming, Walter y Dale Varberg: Álgebra y trigonometría con geometría analítica ISBN 968-880-222-0
↑ Juan Goñi: Geometría.
↑ Vinográdov: Introducción a la teoría de números.

Bibliografía

Platón (1958). Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Madrid: Ediciones Ibéricas.
Strathern, Paul (1999). Pitágoras y su teorema. Madrid: Siglo XXI de España Editores.
Loomis, Elisha Scott (1940). The Pythagorean Proposition. Míchigan: NCTM.
González Urbaneja, Pedro Miguel (2001). Pitágoras. El filósofo del número. Madrid: Nivola.
Martínez Delgado, Alberto. Teorema de Pitágoras: originalidad de las demostraciones de E. García Quijano (1848). Consultado el 4 de octubre de 2010.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teorema de Pitágoras.

[1] Ribnikov. Historia de la matemática. editorial Mir. Moscú.

[2] Julio Rey Pastor y José Babini. Historia de la matemática, pág. 22; ISBN 84-7432-807-1

[3] Marc-Alain Ouaknin. El misterio de las cifras, pp 221-224. ISBN 9788496222465

[4] Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.

[Euclides_proposición_I.41-5] Euclides Los Elementos, proposición I.41 → «Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.»

[Euclides_proposición_I.36-6] Euclides Los Elementos, proposición I.36 → «Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.»

[7] Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponto lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.

[Euclides_proposición_I.47-8] Euclides Los Elementos, proposición I.47 → «En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.»

[9] Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.

[10] James A. Garfield murió el 19 de septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de julio del mismo año. Fue el segundo Presidente asesinado, después de Abraham Lincoln. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámara de Representantes.

[11] Ángel GUTIÉRREZ ( editor) Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. ISBN 84-7738-137-2

[12] Pogorélov. Geometría elemental

[13] Posible aplicación, con diversas variantes y contextualidades, en el mundo real.

[14] Carles Lehman: Geometría analítica

[15] Fleming, Walter y Dale Varberg: Álgebra y trigonometría con geometría analítica ISBN 968-880-222-0

[16] Juan Goñi: Geometría.

[17] Vinográdov: Introducción a la teoría de números.

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