Seno (trigonometría)

Seno
Gráfica de Seno
Definición	sen x
Dominio	$\mathbb {R}$
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	cos x
Función primitiva	-cos x
Función inversa	asen x

En matemáticas el seno es una función continua y $2\pi$ periódica es una función trascendente, su nombre se abrevia por sen.​​​

$\operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen} -x$

$\operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen}(x+\pi )$

Representación gráfica.

En trigonometría, el seno de un ángulo $\alpha \,$ en un triángulo rectángulo de ángulo $\alpha \,$ se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$\operatorname {sen} \alpha ={\frac {a}{c}}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\operatorname {sen} \alpha =a\,$

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,​ siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».​

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

$\operatorname {sen} \;\alpha =\;\;\;\operatorname {sen} \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z}$

Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\operatorname {sen} \;\alpha =-\operatorname {sen}(\alpha +\pi )$ se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${\frac {\pi }{2}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

$\operatorname {sen} \alpha =\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)$

Seno de la suma de dos ángulos

$\operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$ $\operatorname {sen} \left(\alpha -\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

$\operatorname {sen} \left(2\alpha \right)=2\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha$

Como: $\operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$ Bastará con el cambio $\beta =\alpha \,$

Seno del ángulo mitad

$\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [2k\pi ,(2k+1)\pi )\\-{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi )\end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z}$

Usando las fórmulas: $\operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$ y $\cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta$ resulta: $\cos \left(2\theta \right)=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta$ Representación de $y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.$ y aislando $\operatorname {sen} \theta$: $\vert \operatorname {sen} \theta \vert ={\sqrt {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$ El cambio $\theta ={\frac {\alpha }{2}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: $0<\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [0,\,\pi )+2k\pi ,$ $0>\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [\pi ,\,2\pi )+2k\pi$ donde $k\in \mathbb {Z}$.

Seno en análisis matemático

Definición

La función seno puede definirse mediante la ecuación diferencial:

$x'=y$

$y'=-x$

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es $x=\operatorname {sen}(t)$ e $y=\cos(t)$.

Derivada del seno

$\operatorname {sen} 'x=\cos x\,$

• Observación: $\operatorname {sen} 'x=\operatorname {sen}(x+{\frac {\pi }{2}})$.

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

$\operatorname {sen} x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

Con números complejos

También se puede definir de la forma:

${\operatorname {sen} }\ z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación

Normalmente todos los lenguajes de programación proveen una función seno. También es lo normal en todos los lenguajes que el ángulo que recibe la función deba pasarse en radianes.

Esto es importante tenerlo en cuenta ya que si no podrían derivarse errores por este concepto. Del mismo modo las calculadoras suelen aceptar el valor en grados o radianes, siendo necesario para ello (realizar dicho cálculo correctamente) activar un botón selector del tipo de grados (sexagesimales, centesimales o radianes) que se desea usar.

 ejemplos:
    seno de 45 grados   = 0,7071
    seno de 45 radianes = 0,8509

Obsérvese como la escasa diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, por tanto, cuando sea conveniente pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número π

 Rad = Deg * π/180
 Deg = Rad * 180/π

Representación gráfica

Véase también

• Función impar
• Sinusoide
• Período de oscilación
• Teorema del seno
• Trigonometría

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Seno». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.