Acotado

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Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total AcotadoClasiBinaEs 004.svg
Acerca de esta imagen

El concepto de acotado aparece en matemáticas para referirse a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado[editar]

Dado un conjunto A y una relación binaria  \precsim definida entre los elementos de A, que expresaremos  (A, \precsim) y la relación se representa:


   a, b \in A
   \; , \quad
   a \precsim b

que se lee: a antecede a b.

La no relación se representa:


   a, b \in A
   \; , \quad
   a \not \precsim b

que se lee: a no antecede a b

Si la relación  (A, \precsim) cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:


   a \precsim b
   \quad \lor \quad
   b \precsim a

el elemento a antecede a b o b antecede a a, se dice que a y b son elementos comparables.

Si se cumple que:


   a \not \precsim b
   \quad \land \quad
   b \not \precsim a

el elemento a no antecede a b y b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.

Diremos que el conjunto A esta acotado superiormente respecto a  \precsim si:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists y \in A
   \; / \quad
   x \precsim y

para todo x de A se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y.

Del mismo modo diremos que el conjunto A esta acotado inferiormente respecto a  \precsim si:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists z \in A
   \; / \quad
   z \precsim x

para todo x de A se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x.

Diremos que un conjunto esta acotado, si esta acotado superior e inferiormente.

Elemento maximal y minimal[editar]

Conjunto acotado 111.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:


   A =
   \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}

en el que se ha definido una relación binaria  \precsim representada en la figura, siendo  (A, \precsim) un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   y \precsim x
   \quad \longrightarrow \quad
   y = x

se denominan maximales y definen una cuota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser unicos, en el ejemplo e, h y j son maximales de A.

Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   x \precsim z
   \quad \longrightarrow \quad
   z = x

se denominan minimales y definen una cuota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser unicos, en el ejemplo a, c y e son minimales de A.

Se puede ver que el elemento e es maximal y minimal en A

Elemento máximo y mínimo[editar]

Conjunto acotado 144.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:


   A =
   \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}

en el que se ha definido una relación binaria  \precsim representada en la figura, siendo  (A, \precsim) un conjunto parcialmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists y \in A
   \; / \quad
   x \precsim y

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es unicos, en el ejemplo j es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es maximal en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists z \in A
   \; / \quad
   z \precsim x

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es unicos, en el ejemplo a mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es minimal en ese conjunto.

Galeria de ejemplos[editar]

Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, maximos y minimos de cada caso en caso de existir:

Conjunto acotado 111.svg Conjunto acotado 112.svg Conjunto acotado 113.svg Conjunto acotado 114.svg
maximales: e, h, j maximales: e, h, j maximales: h, j maximales: h, j
maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe
minimales: a, c, e minimales: a, c minimales: a, e minimales: a, c
minimo: no existe minimo: no existe minimo: no existe minimo: no existe
Conjunto acotado 121.svg Conjunto acotado 122.svg Conjunto acotado 123.svg Conjunto acotado 124.svg
maximales: e, h, j maximales: e, h, j maximales: h, j maximales: h, j
maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe
minimales: a, e minimales: a minimales: a, e minimales: a
minimo: no existe minimo: a minimo: no existe minimo: a
Conjunto acotado 131.svg Conjunto acotado 132.svg Conjunto acotado 133.svg Conjunto acotado 134.svg
maximales: e, j maximales: e, j maximales: j maximales: j
maximo: no existe maximo: no existe maximo: j maximo: j
minimales: a, c, e minimales: a, c minimales: a, c, e minimales: a, c
minimo: no existe minimo: no existe minimo: no existe minimo: no existe
Conjunto acotado 141.svg Conjunto acotado 142.svg Conjunto acotado 143.svg Conjunto acotado 144.svg
maximales: e, j maximales: e, j maximales: j maximales: j
maximo: no existe maximo: no existe maximo: j maximo: j
minimales: a, e minimales: a minimales: a, e minimales: a
minimo: no existe minimo: a minimo: no existe minimo: a

Conjunto con orden total y acotado[editar]

Dado un conjunto A y una relación binaria  \precsim definida entre los elementos de A, que expresaremos  (A, \precsim) y la relación se representa:


   a \precsim b

que se lee: a antecede a b.

Si la relación  (A, \precsim) cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:


   a \precsim b
   \quad \lor \quad
   b \precsim a

todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables.

Conjunto acotado 600.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:


   A =
   \{ a,b,c,d,e,f,g \}

en el que se ha definido una relación binaria  \precsim representada en la figura, siendo  (A, \precsim) un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists y \in A
   \; / \quad
   x \precsim y

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es unicos, en el ejemplo g es el máximo de A.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   \exists z \in A
   \; / \quad
   z \precsim x

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es unicos, en el ejemplo a mínimo de A.

Conjunto de los números naturales[editar]

Conjunto acotado 700.svg

Dado el conjunto N de los números naturales y una relación binaria mayor o igual:  \leq definida entre los números naturales, que expresaremos  (N, \leq) y la relación se representa:


   a \leq b

que se lee: a es mayor o igual que b.

La relación  (N, \leq) cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:


   \forall a,b \in N
   \; : \quad
   a \leq b
   \quad \lor \quad
   b \leq a

para todo: a, b número natural: a es mayor o igual que b o b es mayor o igual que a, todos los números naturales son comparables.

Dado el conjunto N formado por los elementos:


   N =
   \{ 1,2,3,4,5, \ldots \}

en el que se ha definido una relación binaria  \leq representada en la figura, siendo  (N, \leq) un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de N que cumple:


   \forall x \in N
   \; : \quad
   \nexists y \in N
   \; / \quad
   x \leq y

Este elemento seria el máximo en N y definiria una cuota superior en N, el conjunto de los números naturales no tiene cuota superior.

El elemento z de N que cumple:


   \forall x \in N
   \; : \quad
   \exists z \in N
   \; / \quad
   z \leq x
   \quad \longrightarrow \quad
   z= 1

se denomina mínimo y define una cuota inferior en N, el elemento mínimo es únicos, el uno:1 es el mínimo de N.

Conjunto de los números enteros[editar]

Conjunto acotado 800.svg

Dado el conjunto Z de los números enteros y una relación binaria mayor o igual:  \leq definida entre los números enteros, que expresaremos  (Z, \leq) y la relación se representa:


   a \leq b

que se lee: a es mayor o igual que b.

La relación  (Z, \leq) cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:


   \forall a,b \in Z
   \; : \quad
   a \leq b
   \quad \lor \quad
   b \leq a

para todo: a, b número entero: a es mayor o igual que b o b es mayor o igual que a, todos los números enteros son comparables.

Dado el conjunto Z formado por los elementos:


   Z =
   \{ \ldots ,-2,-1,0,1,2, \ldots \}

en el que se ha definido una relación binaria  \leq representada en la figura, siendo  (Z, \leq) un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de Z que cumple:


   \forall x \in Z
   \; : \quad
   \nexists y \in Z
   \; / \quad
   x \leq y

Este elemento seria el máximo en Z y definiria una cuota superior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cuota superior.

No existe el elemento z de Z que cumple:


   \forall x \in Z
   \; : \quad
   \nexists z \in Z
   \; / \quad
   z \leq x

Este elemento seria mínimo y definiria una cuota inferior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cuota inferior respecto a la relacion binaria:  \leq .

Subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado[editar]

Conjunto acotado 244.svg

Partiendo de un conjunto  A \, , en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria:  \precsim que representamos  (A,\precsim) y la relación entre elementos:


   a, b \in A
   \; , \quad
   a \precsim b

que se lee: a antecede a b.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden parcial. Siendo B un subconjunto de A, se puede determinar si B esta acotado según los siguientes conceptos:

Mayorante: es todo elemento de A que anteceda a cualquier elemento de B.
Supremo: es el elemento mayorante que es antecedido por todos los elemento mayorantes.
Mayor: es el mombre que recibe el supremo, en caso de existir, y ser un elemto de B
Minorante: es todo elemento de A que es antecedido por cualquier elemnto de B.
Infimo: es el elemento minorante que antecede a todos los elementos minorantes.
Menor: es el nombre que recibe el infimo, en caso de existir, y ser un elemento de B

Galeria de ejemplos[editar]

Dado un conjunto A:


   A =
   \{ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \}

en el que se ha dedinidi una relación binaria  \precsim entre los elementos de A que define un orden parcial, y siendo B en subconjunto de A, definido:


   A =
   \{ d, e, f, g \}

Podemos ver una galeria de ejemplo, que permiten discernir: mayorante, supremo y mayor asi como: minorante, infimo y menor.

Conjunto acotado 211.svg Conjunto acotado 212.svg Conjunto acotado 213.svg Conjunto acotado 214.svg
mayorantes: mayorantes: mayorantes: mayorantes:
supremo: supremo: supremo: supremo:
mayor: mayor: mayor: mayor:
minorantes: minorantes: minorantes: minorantes:
infimo: infimo: infimo: infimo:
menor: menor: menor: menor:
Conjunto acotado 221.svg Conjunto acotado 222.svg Conjunto acotado 223.svg Conjunto acotado 224.svg
mayorantes: mayorantes: mayorantes: mayorantes:
supremo: supremo: supremo: supremo:
mayor: mayor: mayor: mayor:
minorantes: minorantes: minorantes: minorantes:
infimo: infimo: infimo: infimo:
menor: menor: menor: menor:
Conjunto acotado 231.svg Conjunto acotado 232.svg Conjunto acotado 233.svg Conjunto acotado 234.svg
mayorantes: mayorantes: mayorantes: mayorantes:
supremo: supremo: supremo: supremo:
mayor: mayor: mayor: mayor:
minorantes: minorantes: minorantes: minorantes:
infimo: infimo: infimo: infimo:
menor: menor: menor: menor:
Conjunto acotado 241.svg Conjunto acotado 242.svg Conjunto acotado 243.svg Conjunto acotado 244.svg
mayorantes: mayorantes: mayorantes: mayorantes:
supremo: supremo: supremo: supremo:
mayor: mayor: mayor: mayor:
minorantes: minorantes: minorantes: minorantes:
infimo: infimo: infimo: infimo:
menor: menor: menor: menor:

Conjunto acotado en un espacio métrico[editar]

Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A está acotado si existe algún disco cerrado que lo contenga.

Conjunto acotado en el conjunto de los números reales[editar]

Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x| es menor o igual que M.


   A \; \mbox{es acotado}
   \quad \iff \quad
   \exists M \in \R^+ / \quad \forall x \in A: \quad |x| \le M

Conjunto acotado superiormente[editar]

Un conjunto \scriptstyle A completamente ordenado está acotado superiormente si existe un elemento \scriptstyle y que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:

(*)A\ \mbox{acotado superiormente} \iff \exists y: \forall x\in A:\ (x \le y)

Nótese que con esta definición puede ser que \scriptstyle y\notin A o que \scriptstyle y\in A. A cualquier número \scriptstyle y que satisfaga (*) se le llama cota superior.

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de \scriptstyle A como \scriptstyle CS_A se define el supremo de \scriptstyle A como el mínimo de este conjunto:

\sup A = \min CS_A

Si \scriptstyle A \subset \R está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que \scriptstyle \sup A \in A entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto \scriptstyle A.

Conjunto acotado inferiormente[editar]

Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

Ejemplos[editar]

  • El conjunto de números enteros positivos consta de un ínfimo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Inferiormente.
  • El conjunto de los números enteros negativos consta de un supremo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Superiormente.
  • Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un Conjunto Acotado.

Función acotada en un dominio D[editar]

Una función matemática f se llama función acotada en un dominio D (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando la función solo existe para un intervalo numérico determinado. Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos . Por ejemplo, las funciones trigonométricas \sin x y \cos x, para las cuales f(D) =[-1,+1]\,, son funciones acotadas ya que todos sus posibles resultados están contenidos en un intervalo numérico acotado, en este caso el intervalo cerrado [-1,1].

Función acotada superiormente en un dominio D[editar]

Dada una función f(x), se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor K tal que f(x) \le K para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota superior de f(x) en D.

Dicho formalmente: f(x) es acotada superiormente si \exists K \in \R\ /\ f(x) \le K\  \forall\  x \in D.

Función acotada inferiormente en un dominio D[editar]

Dada una función f(x), se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor K tal que f(x) \ge K para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota inferior de f(x) en D.


Ejemplos[editar]

  • La función y = f(x) = x^2\, (parábola) es una función acotada inferiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y = f(x) = -x^2\, (parábola invertida) es una función acotada superiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y= f(x) = \sin(x)\, (función seno) es una función acotada en el eje real, con cota inferior igual a -1 y cota superior igual a 1.
  • La función z = f(x,y) = x^2+y^2\, (la circunferencia unitaria) en el dominio D = {-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1} tiene una cota superior igual a 2 y una cota inferior igual a 0.

Operador acotado[editar]

En un espacio de Hilbert (o un espacio de Banach) un operador acotado es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:

\exists K \in \mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K

Algunos operadores importantes de la mecánica cuántica como el hamiltoniano suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

Segmento acotado[editar]

En un croquis, se llama segmento acotado aquél que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

Croquis acotado[editar]

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.

Término No Acotado[editar]

En matemáticas el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.

Conjuntos no acotados[editar]

Dentro de un espacio métrico (E, d) un conjunto no acotado es un conjunto infinito tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor C\in\R tal que:

d(P,Q) < C \qquad \mbox{para todo}\ P,Q\in E

Alternativamente un conjunto no acotado es aquel que no cabe dentro de ninguna bola de radio finito de dicho espacio métrico.

Operador no acotado[editar]

Fijado un espacio vectorial normado, un operador A se dice no acotado o discontinuo si no existe C\in\R tal que:


   \sup_x \frac{\lVert Ax \rVert}{\lVert x\rVert} < C < \infty

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • R. G. Bartle y D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
  • Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.