Frontera (topología)

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Dado un espacio topológico  X y  S un subconjunto de  X , se define la frontera de  S como la intersección de la clausura de  S con la clausura del complemento de  S , y se denota por  \partial S . En otras palabras:

 \partial S := \overline{S} \cap \overline{X \smallsetminus S}

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

 \partial S = \overline{S} \smallsetminus \mbox{int}(S)

Donde: \mbox{int}(S)\, denota el interior de S\,.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto  S es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en  S como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

Ejemplos[editar]

Sea  X el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

  • Si  S = (0, 2) \,,  \partial S = \{0, 2 \} \,.
  • Si  S = \mathbb{Z} ,  \partial S = \mathbb{Z} .
  • \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}

En \mathbb{R}^3:

  • La frontera de la bola B_1(x) =\{ y\in\R^3| d(x,y)\le 1 \} es la esfera de radio unidad y centro en x.

Propiedades[editar]

  • La frontera de un conjunto es cerrada.
  • La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = ∂(SC).

De lo que se deduce que:

  • p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
  • Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
  • El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
  • La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
  • En Rn, todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

Fronteras y aplicaciones continuas[editar]

Dado un conjunto abierto y acotado \Omega \subset \R^n y una aplicación continua f\in C^0(\bar\Omega,\R^n) que es inyectiva sobre \Omega. Entonces se cumple:

  • f(\bar\Omega) = \overline{f(\Omega)}
  • f(\Omega) = f(\mbox{int}\ \bar\Omega) \subset \mbox{int}\  f(\bar\Omega)
  • f(\part\Omega) \supset f(\bar\Omega)

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple \mbox{int}\ \bar\Omega = \Omega y la función continua es inyectiva sobre el compacto \bar\Omega entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

  • f(\Omega) = f(\mbox{int}\ \bar\Omega) = \mbox{int}\  f(\bar\Omega)
  • f(\part\Omega) = f(\bar\Omega)

Véase también[editar]

  • Lagos de Wada. Ejemplo que muestra como n abiertos del plano pueden tener una frontera común.