Grupo resoluble

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Definición[editar]

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos tal que:

donde para cada se cumple que:

  • es subgrupo normal en , notado usualmente como .
  • El grupo cociente es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos y . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

donde para todo i.

El grupo es soluble si existe tal que .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo y un subgrupo normal , se tiene que es abeliano si y solo si .

Ejemplos[editar]

  • Todo grupo abeliano es resoluble, ya que y , dado que y además , por lo que es abeliano.
  • es resoluble. Basta ver que es una torre abeliana, con el grupo alternado para .
  • es resoluble. Basta ver que , es una torre abeliana de , donde .
  • es resoluble. Se puede ver que es una torre abeliana de .
  • es un grupo no resoluble, ya que se conoce que es simple, por lo que la única cadena posible es , pero no es abeliano, dado que .

Propiedades[editar]

  • Si es un grupo soluble y es un homomorfismo de grupos entonces es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si y es soluble entonces es soluble.
  • Si es soluble y entonces es soluble.
  • Si verifican que tanto como son solubles entonces es soluble.
  • De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo es soluble si y solo si y lo son.

Importancia[editar]

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.[1]

Referencias[editar]

  1. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf , apuntes de la asignatura Álgebra 2, de la Universidad Autónoma de Madrid, escritas por Fernando Chamizo.