Grupo resoluble

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Definición[editar]

Un grupo finito G se dice resoluble si existe una cadena finita de subgrupos \{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G tal que:

 \{1_G\}=G_0\subseteq G_1 \subseteq \dots \subseteq G_n = G,

donde para cada i=0,1,\dots,n-1 se cumple que:

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.

Ejemplos[editar]

  • Todo grupo abeliano es resoluble, ya que \{1\}\subseteq G y 1\triangleleft G, dado que x\cdot 1_G\cdot x^{-1} \in\{1_G\} y además G/\{1\}\simeq G, por lo que es abeliano.
  • S_3 es resoluble. Basta ver que 1 \triangleleft A_3\triangleleft S_3 es una torre abeliana, con A_n el grupo alternado para S_n.
  • A_4 es resoluble. Basta ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4, es una torre abeliana de A_4, donde V=\{1,(12)(24),(13)(24),(14)(23)\}.
  • S_4 es resoluble. Se puede ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4\triangleleft S_4 es una torre abeliana de S_4.
  • A_5 es un grupo no resoluble, ya que se conoce que A_5 es simple, por lo que la única cadena posible es 1\triangleleft A_5, pero A_5 no es abeliano, dado que (12)(34)(345)\neq (345)(12)(34).
  • Sea el grupo multiplicativo G={x|x es raíz octava de 1} y sus subgrupos multiplicativos G_{0}={1}, G_{1}={1,-1}, G_{2}={1,-1,i,-i}.

Se tiene G_{0}G_{1}G_{2}G

Propiedades[editar]

  • Toda imagen A' de un grupo finito resoluble A es también resoluble.
  • Si una ecuación g(x) = 0, (g polinomio) con coeficientes en K es resoluble por radicales, su grupo de Galois sobre K es resoluble.

Importancia[editar]

Porque está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas.