Extensión de grupo

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En el álgebra abstracta extender un grupo A con otro B es construir otro grupo \mathbb{E} que hace que la sucesión corta

0\to A\to\mathbb{E}\to B\to 0

sea exacta.

Ejemplo de una tal extensión es la suma directa A\oplus B.

Es sabido que los homomorfismos (de grupo) B\to {\rm Out}\ A los clasifican. Aquí la construcción {\rm Out}\ A es el conjunto de automorfismos exteriores, definido como el cociente

{\rm Out}\ A={\rm Aut} A/{\rm Inn} A.

Ejemplo[editar]

Considere el fibrado F\subset E_f\to S^1 donde f:F\to F es un auto-homeomorfismo de la superficie F, entonces desde la sequencia homotópica larga del fibrado tenemos el tramo:

\cdots\to 1\to\pi_1F\to\pi_1E_f\to\mathbb{Z}\to1\to\cdots

Pero como sabemos que los homomorfismos de grupo:

\mathbb{Z}\to{\rm out}\pi_1F={\rm mod}(F)

clasifican a estas extensiones y donde el generador de \mathbb{Z} es asignado al auto-homeomorfismo f, entonces tenemos que el grupo fundamental del fibrado E está dado por

\pi_1E_f=\pi_1F*_f\mathbb{Z}

es decir, estamos extendiendo el grupo fundamental de la superficie F por el subgrupo cíclico infinito \mathbb{Z}.

Es conocido que tales grupos tiene una presentación de la forma \pi_1(E_f)=\langle g_s,t\mid R(g_s)=1, t^{-1}g_st=f(g_s)\rangle que corresponde a una HNN extensión del grupo fundamental de la superficie F.

Referencias[editar]

  • A.G. Kurosch. The theory of groups. Chelsea, 2 vols. 1955-1956.
  • M.Hall. The theory of groups. Macmillan. 1959.