En trigonometría , las fórmulas de la tangente del ángulo medio relacionan la tangente de la mitad de un ángulo con las funciones trigonométricas del ángulo completo.[ 1]
tan
(
η
±
θ
2
)
=
sin
η
±
sin
θ
cos
η
+
cos
θ
=
−
cos
η
−
cos
θ
sin
η
∓
sin
θ
,
tan
(
±
θ
2
)
=
±
sin
θ
1
+
cos
θ
=
±
tan
θ
sec
θ
+
1
=
±
1
csc
θ
+
cot
θ
,
(
η
=
0
)
tan
(
±
θ
2
)
=
1
−
cos
θ
±
sin
θ
=
sec
θ
−
1
±
tan
θ
=
±
(
csc
θ
−
cot
θ
)
,
(
η
=
0
)
tan
(
1
2
(
θ
±
π
2
)
)
=
1
±
sin
θ
cos
θ
=
sec
θ
±
tan
θ
=
csc
θ
±
1
cot
θ
,
(
η
=
π
2
)
tan
(
1
2
(
θ
±
π
2
)
)
=
cos
θ
1
∓
sin
θ
=
1
sec
θ
∓
tan
θ
=
cot
θ
csc
θ
∓
1
,
(
η
=
π
2
)
1
−
tan
(
θ
/
2
)
1
+
tan
(
θ
/
2
)
=
±
1
−
sin
θ
1
+
sin
θ
tan
θ
2
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta \pm \theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),&&(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {1}{2}}(\theta \pm {\frac {\pi }{2}})\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {1}{2}}(\theta \pm {\frac {\pi }{2}})\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\end{aligned}}}
De estas expresiones se pueden derivar identidades que expresan el seno, el coseno y la tangente como funciones de tangentes de medios ángulos:
sin
α
=
2
tan
α
2
1
+
tan
2
α
2
cos
α
=
1
−
tan
2
α
2
1
+
tan
2
α
2
tan
α
=
2
tan
α
2
1
−
tan
2
α
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\dfrac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\dfrac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\dfrac {\alpha }{2}}}}\end{aligned}}}
Demostraciones [ editar ]
Demostraciones algebraicas [ editar ]
Usando identidades y fórmulas de trigonometría y la identidad pitagórica
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}
, se obtiene
sin
α
=
2
sin
α
2
cos
α
2
=
2
sin
α
2
cos
α
2
cos
2
α
2
+
sin
2
α
2
=
2
sin
α
2
cos
α
2
cos
α
2
cos
α
2
cos
2
α
2
cos
2
α
2
+
sin
2
α
2
cos
2
α
2
=
2
tan
α
2
1
+
tan
2
α
2
,
and
{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\text{and}}}
cos
α
=
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
=
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
cos
2
α
2
+
sin
2
α
2
=
cos
2
α
2
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
cos
2
α
2
cos
2
α
2
cos
2
α
2
+
sin
2
α
2
cos
2
α
2
=
1
−
tan
2
α
2
1
+
tan
2
α
2
.
{\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}{{\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}.}
Tomando el cociente de las fórmulas del seno y del coseno, se obtiene:
tan
α
=
2
tan
α
2
1
−
tan
2
α
2
.
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}.}
Combinando la identidad pitagórica con la fórmula de doble ángulo para el coseno,
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
1
−
2
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}
,
reorganizando y tomando las raíces cuadradas
|
sin
α
|
=
1
−
cos
2
α
2
{\displaystyle |\sin \alpha |={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}}
y
|
cos
α
|
=
1
+
cos
2
α
2
{\displaystyle |\cos \alpha |={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}}
que, tras la división, da
|
tan
α
|
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
2
α
1
+
cos
2
α
=
|
sin
2
α
|
1
+
cos
2
α
.
{\displaystyle |\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }}.}
Alternativamente,
|
tan
α
|
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
1
−
cos
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
−
cos
2
2
α
=
1
−
cos
2
α
|
sin
2
α
|
.
{\displaystyle |\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}}.}
Los signos de valor absoluto pueden eliminarse cuando se trabaja solo en el primer cuadrante.
Además, usando las fórmulas de suma y resta de ángulos tanto para el seno como para el coseno, se obtiene:
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
{\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
{\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b}
La suma por pares de las cuatro fórmulas anteriores produce:
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
+
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
=
2
sin
a
cos
b
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
+
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
=
2
cos
a
cos
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)+\sin(a-b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\&=2\sin a\cos b\\[3pt]\cos(a+b)+\cos(a-b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\&=2\cos a\cos b\end{aligned}}}
Tomando
a
=
p
+
q
2
{\displaystyle a={\frac {p+q}{2}}}
y
b
=
p
−
q
2
{\displaystyle b={\frac {p-q}{2}}}
, y procediendo a su sustitución, resulta:
sin
(
p
+
q
2
+
p
−
q
2
)
+
sin
(
p
+
q
2
−
p
−
q
2
)
=
sin
(
p
)
+
sin
(
q
)
=
2
sin
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
cos
(
p
+
q
2
+
p
−
q
2
)
+
cos
(
p
+
q
2
−
p
−
q
2
)
=
cos
(
p
)
+
cos
(
q
)
=
2
cos
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left({\frac {p+q}{2}}+{\frac {p-q}{2}}\right)+\sin \left({\frac {p+q}{2}}-{\frac {p-q}{2}}\right)&=\sin(p)+\sin(q)\\&=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)\\[6pt]\cos \left({\frac {p+q}{2}}+{\frac {p-q}{2}}\right)+\cos \left({\frac {p+q}{2}}-{\frac {p-q}{2}}\right)&=\cos(p)+\cos(q)\\&=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)\end{aligned}}}
Dividiendo la suma de senos por la suma de cosenos, se llega a:
sin
(
p
)
+
sin
(
q
)
cos
(
p
)
+
cos
(
q
)
=
2
sin
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
2
cos
(
p
+
q
2
)
cos
(
p
−
q
2
)
=
tan
(
p
+
q
2
)
{\displaystyle {\frac {\sin(p)+\sin(q)}{\cos(p)+\cos(q)}}={\frac {2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}}=\tan \left({\frac {p+q}{2}}\right)}
Demostración geométrica [ editar ]
Aplicando las fórmulas demostradas arriba a la figura del rombo de la derecha, se comprueba fácilmente que
Los lados de este rombo tienen longitud 1. El ángulo entre la línea horizontal y la diagonal mostrada es (a + b )/2 . Esta es una forma geométrica de demostrar la fórmula de la tangente del ángulo mitad. Las fórmulas sin((a + b )/2) y cos((a + b )/2) solo muestran su relación con la diagonal, no el valor real
tan
a
+
b
2
=
sin
a
+
b
2
cos
a
+
b
2
=
sin
a
+
sin
b
cos
a
+
cos
b
.
{\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.}
En el círculo unitario, la aplicación de lo anterior muestra que
t
=
tan
(
φ
2
)
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}
. Por semejanza ,
t
sin
φ
=
1
1
+
cos
φ
{\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}}
. De ello se deduce que
t
=
sin
φ
1
+
cos
φ
=
sin
φ
(
1
−
cos
φ
)
(
1
+
cos
φ
)
(
1
−
cos
φ
)
=
1
−
cos
φ
sin
φ
.
{\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.}
La sustitución de la tangente del ángulo mitad en el cálculo integral [ editar ]
Prueba geométrica de la sustitución de Weierstrass
En varias aplicaciones de trigonometría , es útil reescribir las diversas funciones (como senos y cosenos ) en términos de cocientes de una nueva variable
t
{\displaystyle t}
. Estas identidades se conocen colectivamente como las fórmulas en la tangente del ángulo mitad debido a la definición de
t
{\displaystyle t}
. Estas identidades pueden ser útiles en cálculo infinitesimal para convertir funciones racionales expresadas en senos y cosenos, en funciones de t para encontrar sus primitivas .
Técnicamente, la existencia de fórmulas a partir de la tangente del ángulo mitad se deriva del hecho de que la circunferencia es una curva algebraica de genus 0. Esto implica que las "funciones circulares" sean reducibles a funciones racionales.
Geométricamente, la construcción es la siguiente: para cualquier punto (cos φ, sin φ) en la circunferencia goniométrica , dibujar la recta que lo atraviesa y el punto (−1, 0) . Este punto cruza el eje y en algún punto y = t . Se puede demostrar usando geometría elemental que t = tan(φ/2) . La ecuación de la recta dibujada es y = (1 + x )t . La ecuación para la intersección de la recta y el círculo es entonces una ecuación de segundo grado que involucra a t . Las dos soluciones de esta ecuación son (−1, 0) y (cos φ , sin φ ) . Esto permite escribir estas últimas como funciones racionales de t (las soluciones se dan a continuación).
El parámetro t representa la proyección estereográfica del punto (cos φ , sin φ ) en el eje y con el centro de proyección en (−1, 0) . Por lo tanto, las fórmulas en función de la tangente del ángulo mitad dan conversiones entre la coordenada estereográfica t en el círculo unitario y la coordenada angular estándar φ .
Entonces, se tiene que
cos
φ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
sin
φ
=
2
t
1
+
t
2
,
tan
φ
=
2
t
1
−
t
2
cot
φ
=
1
−
t
2
2
t
,
sec
φ
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
csc
φ
=
1
+
t
2
2
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}
y
e
i
φ
=
1
+
i
t
1
−
i
t
,
e
−
i
φ
=
1
−
i
t
1
+
i
t
.
{\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}
Al eliminar phi entre esta última expresión y la definición inicial de
t
{\displaystyle t}
, se llega a la siguiente relación útil para trabajar con la función trigonométrica inversa en términos del logaritmo natural
arctan
t
=
1
2
i
ln
1
+
i
t
1
−
i
t
.
{\displaystyle \arctan t={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}
En cálculo infinitesimal , la sustitución de Weierstrass se utiliza para encontrar las primitivas de funciones racionales de sin φ y cos φ . Después de configurar
t
=
tan
1
2
φ
.
{\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi .}
Esto implica que
φ
=
2
arctan
(
t
)
+
2
π
n
,
{\displaystyle \varphi =2\arctan(t)+2\pi n,}
para algún entero n , y por lo tanto
d
φ
=
2
d
t
1
+
t
2
.
{\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}
Identidades hiperbólicas [ editar ]
Se puede desarrollar un razonamiento completamente análogo con las funciones hiperbólicas . Un punto en la rama derecha de una hipérbola viene dado por (cosh θ , sinh θ ) . Proyectar esto en el eje y desde el centro (−1, 0) , obteniéndose lo siguiente:
t
=
tanh
1
2
θ
=
sinh
θ
cosh
θ
+
1
=
cosh
θ
−
1
sinh
θ
{\displaystyle t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}}
con las identidades
cosh
θ
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
sinh
θ
=
2
t
1
−
t
2
,
tanh
θ
=
2
t
1
+
t
2
,
coth
θ
=
1
+
t
2
2
t
,
sech
θ
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
csch
θ
=
1
−
t
2
2
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\sinh \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}
y
e
θ
=
1
+
t
1
−
t
,
e
−
θ
=
1
−
t
1
+
t
.
{\displaystyle e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}.}
Encontrar θ en términos de t conduce a la siguiente relación entre el ar-tangente hiperbólico y el logaritmo natural:
artanh
t
=
1
2
ln
1
+
t
1
−
t
.
{\displaystyle \operatorname {artanh} t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}
("ar-" se usa en lugar de "arc-" porque "arc" se refiere a la longitud del arco y "ar" abrevia "área". Es el área entre dos rayos y una hipérbola, en lugar de la longitud del arco entre dos rayos medidos en un arco de círculo.)
Función de Gudermann [ editar ]
Comparando las identidades hiperbólicas con las circulares, se observa que involucran las mismas funciones de t , simplemente permutadas. Si se identifica el parámetro t en ambos casos, se llega a una relación entre las funciones circulares y las hiperbólicas. Es decir, si
t
=
tan
1
2
φ
=
tanh
1
2
θ
{\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta }
entonces
φ
=
2
tan
−
1
tanh
1
2
θ
≡
gd
θ
.
{\displaystyle \varphi =2\tan ^{-1}\tanh {\tfrac {1}{2}}\theta \equiv \operatorname {gd} \theta .}
donde gd(θ ) es la función de Gudermann , que da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos. Las descripciones anteriores de las fórmulas respecto a la tangente del ángulo mitad (proyección del círculo unitario y la hipérbola estándar sobre el eje y ) dan una interpretación geométrica de esta función.
Ternas pitagóricas [ editar ]
La tangente de la mitad de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo cuyos lados son un triplete pitagórico será necesariamente un número racional en el intervalo (0, 1) . Y viceversa, cuando la tangente de medio ángulo es un número racional en el intervalo (0, 1) , hay un triángulo rectángulo con el ángulo completo cuyas longitudes de los lados forman un triple pitagórico.
Véase también [ editar ]
Referencias [ editar ]
↑ PAJARES GARCÍA, ALMUDENA, ARGÜESO ANDRÉS, MÓNICA, LÁZARO REDONDO, ÓSCAR, BOROBIA LARROSA, Mª NOEMÍ, TOMEO PERUCHA, VENANCIO (2015). Matemáticas I. 1º Bachillerato (LOMCE) . Ediciones Paraninfo, S.A. pp. 114 de 408. ISBN 9788497329781 . Consultado el 25 de enero de 2021 .
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