Genus (matemáticas)

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Un genus-2 superficie

En matemáticas, genus (plural genera) tiene unos cuantos significados diferentes, pero estrechamente relacionados:

Topología[editar]

Superficie Orientable[editar]

El generador de una superficie orientable conectada es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de las curvas simples no intersectadas cerradas sin hacer que el colector resultante se desconecte.[1]​ Es igual al número de asas o mangos que hay en el objeto (handle decomposition en Inglés). Alternativamente, pueda ser definido en términos de la característica de Euler χ, vía la relación χ = 2 − 2g para superficies cerradas, donde g es el genus. Para superficies con b componentes de frontera, la ecuación toma χ = 2 − 2g − b. En términos sencillos es el número de "agujeros" que un objeto tiene ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosca, una esfera hueca sería considerada como sin agujeros en este sentido). Un donut (dona) o toro, tiene 1 agujero. Una esfera tiene 0 mientras un círculo tiene 1. Notar que esto no se podría trabajar para la 4.ª dimensión y superiores ya que es difícil visualizar un 4.º agujero dimensional.

  • La esfera S2 y un disco ambos tienen genus cero.
    Donut o taza de café?
  • Un torus tiene un genus , tal como tiene la superficie de una taza de café con un asa. Esto es la fuente del chiste que "un topólogo es alguien quién no puede contar su donut de su taza de café."

Una construcción explícita de superficies de genus g está dado en el artículo en el polígono fundamental.[2]

En términos sencillos, el valor del genus de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene.[3]

Superficies no-orientables[editar]

El genus no-orientable , semigenus, o Euler genus de un conectado, la superficie no-orientable cerrada es un entero positivo representando el número de tapas transversales que sujetaron a una esfera. Alternativamente, este puede ser definido para una superficie cerrada en términos decaracterística Euler χ, vía la relación χ = 2 − k, donde k es el genus no-orientable .

  • Un plano projectivo el avión tiene un genus no-orientable.
  • Unabotella de Klein tiene dos genus no-orientables.

Nudo[editar]

El genus de un nudo K está definido como el mínimo genus de todo Seifert superficies para K. Un Seifert superficie de un nudo es aun así un colector con borde, siendo la frontera el nudo , i.e. homeomorfa a la unidad del círculo.[4]​ El genus de tal superficie está definida para ser el genus del duo-colector, el cual está obtenido por unión de la unidad del disco a lo largo del borde.

Cubo con asas[editar]

El genus de un l cubo con asas tri-dimensiona es un entero que representa el número máximo de recortes a lo largo de discos incrustados sin representación el colector resultante desconectado. Es igual al número de asas encima lo.

  • Una pelota ha genus cero.
  • Un sólido torus D2 × S1 ha genus uno.

Teoría de grafos[editar]

El genus de un graph es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n mangos (i.e. una superficie orientada de genus n). Así, un planar graph ha genus 0, porque pueda ser dibujado en una esfera sin self-cruzando.

El no-orientable genus de un graph es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n cruz-gorras (i.e. un no-orientable superficie de (no-orientable) genus n). (Este número es también llamó el demigenus.)

El Euler genus es el entero mínimo n tal que el graph puede ser dibujado sin cruce él en una esfera con n cruz-gorras o en una esfera con n/2 mangos.[5]

En la teoría de grafos topológica allí es varias definiciones del genus de un grupo. Arthur T. Blanco introducido el concepto siguiente. El genus de un G de grupo es el mínimo genus de un (conectado, undirected) Cayley graph para G.

Geometría algebraica[editar]

hay dos relacionó definiciones de genus de cualquier projective esquema algebraico X: la aritmética genus y el geométrico genus.[6]​ Cuándo X es una curva algebraica con campo de definición los números complejos, y si X tiene no puntos singulares, entonces estas definiciones están de acuerdo y coincidir con la definición topológica aplicó al Riemann superficie de X (su colector de puntos complejos). La definición de elliptic la curva de geometría algebraica está conectada no-singular projective curva de genus 1 con un punto racional dado encima lo.

Véase también[editar]

  • Cayley graph
  • Grupo (matemática)
  • Aritmética genus
  • Geométrico genus
  • Genus De un multiplicative secuencia
  • Genus De una forma cuadrática
  • Spinor genus

Referencias[editar]

  1. Munkres, James R. Topology.
  2. «Fundamental polygon» |url= incorrecta con autorreferencia (ayuda). Wikipedia (en inglés). 19 de abril de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2017. 
  3. W., Weisstein, Eric. «Genus». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 2 de mayo de 2017. 
  4. Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1 
  5. Graphs on surfaces. 
  6. Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd edición). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58663-6. Zbl 0843.14009.