Seno (trigonometría)

Seno
Gráfica de Seno
Definición	sen x
Dominio	$\mathbb {R}$
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	cos x
Función primitiva	-cos x
Función inversa	asen x

En matemáticas, inicialmente en trigonometría, luego en análisis real y análisis complejo, el seno es una función no algebraica impar, función elemental trascendente, periódica de periodo $2\pi$ es continua, infinitamente derivable e integrable. Su dominio es todo el conjunto ℝ y su codominio es el intervalo cerrado [-1;1], con una infinidad contable de máximos y mínimos que se alternan en su gráfico; tiene intervalos de concavidad alternados; sus puntos de inflexión están en el eje X; su notación funcional, en castellano, es sen, que se antepone a la variable independiente.​. ​.​​​. $isenx$ se enlaza aditivamente con

$cosx$ para generar la exponencial de un imaginario puro, esto es

$e^{ix}=cosx+isenx$

, apical descubrimiento de Euler. ​

$\operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen}(-x)$

$\operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen}(x+\pi )$

La función seno es: función impar y función periódica.

Representación gráfica.

En trigonometría, el seno de un ángulo $\alpha \,$ en un triángulo rectángulo de ángulo $\alpha \,$ se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$\operatorname {sen} \alpha ={\frac {a}{c}}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\operatorname {sen} \alpha =a\,$

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,​ siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».​

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

$\operatorname {sen} \;\alpha =\;\;\;\operatorname {sen} \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z}$

Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\operatorname {sen} \;\alpha =-\operatorname {sen}(\alpha +\pi )$ se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${\frac {\pi }{2}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

$\operatorname {sen} \alpha =\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)$

Seno de la suma de dos ángulos

$\operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$ $\operatorname {sen} \left(\alpha -\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

$\operatorname {sen} \left(2\alpha \right)=2\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha$

Como: $\operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta$ Bastará con el cambio $\beta =\alpha \,$

Seno del ángulo mitad

$\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [2k\pi ,(2k+1)\pi )\\-{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi )\end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z}$

Usando las fórmulas: $\operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$ y $\cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta$ resulta: $\cos \left(2\theta \right)=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta$ Representación de $y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.$ y aislando $\operatorname {sen} \theta$: $\vert \operatorname {sen} \theta \vert ={\sqrt {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$ El cambio $\theta ={\frac {\alpha }{2}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: $0<\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [0,\,\pi )+2k\pi ,$ $0>\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [\pi ,\,2\pi )+2k\pi$ donde $k\in \mathbb {Z}$.

Suma de funciones como producto

$\operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

Producto de funciones como suma

$\operatorname {sen} (A)\operatorname {sen} (B)=\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\operatorname {sen} (A)\operatorname {sen} (B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)-\cos(A-B)\right)$

Seno en análisis matemático

Definición

La función seno puede definirse mediante la ecuación diferencial:

$x'=y$

$y'=-x$

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es $x=\operatorname {sen}(t)$ e $y=\cos(t)$.

Derivada del seno

$\operatorname {sen} 'x=\cos x\,$

• Observación: $\operatorname {sen} 'x=\operatorname {sen}(x+{\frac {\pi }{2}})$.

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

$\operatorname {sen} x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

integral definida

Con números complejos

También se puede definir de la forma:

${\operatorname {sen} }\ z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías, en caso de necesitar el seno de unos cuantos valores enteros es normal recurrir a vectores, eliminando así las llamadas a funciones frecuentemente lentas como el seno. Hay lenguajes en los que el ángulo recibido por la función es convertido a radianes.

Algunas calculadoras aceptan el valor en grado sexagesimal, centesimales o radianes, es una opción activable mediante el teclado:

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071

Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180

Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: $\pi$ y 90º:

$\operatorname {sen} \pi =0$ en caso del modo de radianes activo.

$\operatorname {sen} 90=1$ en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica

Véase también

• Función impar
• Función periódica
• Sinusoide
• Período de oscilación
• Teorema del seno
• Trigonometría
• Función trigonométrica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Seno». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.