Sistema de coordenadas

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico.^[1] El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".^[2]

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Ejemplos de sistemas de coordenadas

Sistema de coordenadas cartesianas

Artículo principal: Coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( $\mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}\,$ ) sobre un eje determinado:

$\mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}=(x_{\text{A}},y_{\text{A}},z_{\text{A}})$

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector ( $\mathbf {i} \,$ ) tal que:

\mathbf {i} =(1,0,0)

, cuyo módulo es

|\mathbf {i} |=1\,

.

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

$x_{\text{A}}={{\text{OA}}\cdot \mathbf {i} \over |{\text{OA}}|\cdot |\mathbf {i} |}={{\text{OA}} \over |{\text{OA}}|}\cdot \mathbf {i}$

Sistema de coordenadas polares

Artículo principal: Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Sistema de coordenadas log-polares

Artículo principal: Coordenadas log-polares

Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

Sistema de coordenadas cilíndricas

Artículo principal: Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas ${\textstyle \scriptstyle {\mathcal {C}}=\{(\rho ,\varphi ,z)|\ \rho >0,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ z\in \mathbb {R} \}}$ se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas

Artículo principal: Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Coordenadas geográficas

Artículo principal: Coordenadas geográficas

Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD — Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
DM — Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS — Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra, utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Coordenadas curvilíneas generales

Artículo principal: Coordenadas curvilíneas

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

\phi :M\to \mathbb {R} ^{m}\qquad p\in M\land \phi (p)=(0,0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{m}

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:

\phi (q)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})\,

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ .

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Artículo principal: Coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.

Cambios de coordenadas

En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.

Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos conjuntos de $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ , aquí llamados $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$ :

${\begin{matrix}\phi :&A\subset \mathbb {R} ^{n}&\longrightarrow &B\subset \mathbb {R} ^{n}\\&\mathbf {x} &\longmapsto &\mathbf {y} =\phi (\mathbf {x} )\end{matrix}}\qquad \land \qquad \det D\phi ={\frac {\partial (y^{1},\dots ,y^{n})}{\partial (x^{1},\dots ,x^{n})}}\neq 0$

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

$\int _{D\subset B}f(\mathbf {y} )\ d^{n}\mathbf {y} =\int _{\phi ^{-1}(D)}(f\circ \phi )(\mathbf {x} )\ |\det D\phi (\mathbf {x} )|\ d^{n}\mathbf {x} =\int _{\tilde {D}}{\tilde {f}}(\mathbf {x} )\ Jd^{n}\mathbf {x}$

Donde:

f(\mathbf {y} ),{\tilde {f}}(\mathbf {x} )=(f\circ \phi )(\mathbf {x} )

representa la función que pretende integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordenadas.

J=|\det D\phi (\mathbf {x} )|

es el jacobiano del cambio de coordenadas.

D,{\tilde {D}}=\phi ^{-1}(D)

es el dominio de integración expresado en las viejas y las nuevas coordenadas.

Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial:

${\frac {\partial f(\mathbf {y} )}{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial f(\phi (\mathbf {x} ))}{\partial x^{k}}}$

Origen de coordenadas

El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo —por ejemplo, el (0,0) en ℝ² o (0,0,0) en ℝ³—. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo ( $\rho =0$ ), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.