Coordenadas ortogonales

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Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Definición[editar]

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana , un conjunto abierto del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto , una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Propiedades[editar]

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales[editar]

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilemente en términos de estas componentes del tensor métrico.

  • El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

  • El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

Ejemplos en el espacio euclídeo[editar]

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

Ejemplos en variedades diferenciales[editar]

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.[cita requerida]