El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal . Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana .
Un punto
P
{\displaystyle P}
en coordenadas cilíndricas se representa por
(
ρ
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}
donde:
ρ
{\displaystyle \rho }
: Coordenada radial , definida como la distancia del punto
P
{\displaystyle P}
al eje
z
{\displaystyle z}
, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano
X
Y
{\displaystyle XY}
φ
{\displaystyle \varphi }
: Coordenada azimutal , definida como el ángulo que forma con el eje
X
{\displaystyle X}
la proyección del radiovector sobre el plano
X
Y
{\displaystyle XY}
.
z
{\displaystyle z}
: Coordenada vertical o altura , definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano
X
Y
{\displaystyle XY}
.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
0
≤
ρ
<
∞
0
≤
φ
<
2
π
−
∞
<
z
<
∞
{\displaystyle 0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2\pi \qquad -\infty <z<\infty }
La coordenada azimutal
φ
{\displaystyle \varphi }
se hace variar en ocasiones desde
−
π
{\displaystyle -\pi }
a
π
{\displaystyle \pi }
. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de
ρ
{\displaystyle \rho }
llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí,
ρ
{\displaystyle \rho }
vuelve a aumentar, pero
φ
{\displaystyle \varphi }
aumenta o disminuye en
π
{\displaystyle \pi }
radianes .
Relación con otros sistemas de coordenadas[ editar ]
Relación con las coordenadas cartesianas[ editar ]
Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.
Teniendo en cuenta la definición del ángulo
φ
{\displaystyle \varphi }
, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:
x
=
ρ
cos
φ
,
y
=
ρ
sen
φ
,
z
=
z
{\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \operatorname {sen} \varphi ,\qquad z=z}
Líneas y superficies coordenadas[ editar ]
Las líneas coordenadas
Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje
Z
{\displaystyle Z}
.
Líneas coordenadas
φ
{\displaystyle \varphi }
: Circunferencias horizontales.
Líneas coordenadas
z
{\displaystyle z}
: Rectas verticales.
Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
Superficies
φ
{\displaystyle \varphi }
=cte.: Semiplanos verticales.
Superficies
z
{\displaystyle z}
=cte.: Planos horizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
ρ
^
=
cos
φ
x
^
+
s
e
n
φ
y
^
{\displaystyle {\hat {\rho }}=\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}}
φ
^
=
−
s
e
n
φ
x
^
+
cos
φ
y
^
{\displaystyle {\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}}
z
^
=
z
^
{\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}
e inversamente
x
^
=
cos
φ
ρ
^
−
s
e
n
φ
φ
^
{\displaystyle {\hat {x}}=\cos \varphi \,{\hat {\rho }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}}
y
^
=
s
e
n
φ
ρ
^
+
cos
φ
φ
^
{\displaystyle {\hat {y}}={\rm {sen}}\varphi \,{\hat {\rho }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}}
z
^
=
z
^
{\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
h
ρ
=
1
h
φ
=
ρ
h
z
=
1
{\displaystyle h_{\rho }=1\qquad h_{\varphi }=\rho \qquad h_{z}=1}
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
r
→
=
ρ
ρ
^
+
z
z
^
{\displaystyle {\vec {r}}=\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}}}
Nótese que no aparece un término
φ
φ
^
{\displaystyle \varphi \,{\hat {\varphi }}}
. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.
Efectivamente:
r
→
=
x
ı
^
+
y
ȷ
^
+
z
k
^
=
ρ
cos
φ
ı
^
+
ρ
sen
φ
ȷ
^
+
z
k
^
=
ρ
(
cos
φ
ı
^
+
sen
φ
ȷ
^
)
+
z
k
^
=
ρ
ρ
^
+
z
z
^
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho \cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\rho \operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho (\cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }})+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho {\hat {\rho }}+z{\hat {z}}\end{array}}}
Diferenciales de línea, superficie y volumen[ editar ]
Un desplazamiento infinitesimal , expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por
d
r
→
=
h
ρ
d
ρ
ρ
^
+
h
φ
d
φ
φ
^
+
h
z
d
z
z
^
=
d
ρ
ρ
^
+
ρ
d
φ
φ
^
+
d
z
z
^
{\displaystyle d{\vec {r}}=h_{\rho }\,d\rho \,{\hat {\rho }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+h_{z}\,dz\,{\hat {z}}=d\rho \,{\hat {\rho }}+\rho \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+dz\,{\hat {z}}}
Diferenciales de superficie [ editar ]
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,
q
3
=
c
t
e
.
{\displaystyle q_{3}={\rm {cte.}}}
el resultado es
d
S
→
q
3
=
c
t
e
=
h
1
h
2
d
q
1
d
q
2
q
^
3
{\displaystyle d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}}
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son
ρ=cte:
d
S
→
ρ
=
c
t
e
=
ρ
d
φ
d
z
ρ
^
{\displaystyle d{\vec {S}}_{\rho ={\rm {cte}}}=\rho \,d\varphi \,dz\,{\hat {\rho }}}
φ=cte:
d
S
→
φ
=
c
t
e
=
d
ρ
d
z
φ
^
{\displaystyle d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=d\rho \,dz\,{\hat {\varphi }}}
z=cte:
d
S
→
z
=
c
t
e
=
ρ
d
ρ
d
φ
z
^
{\displaystyle d{\vec {S}}_{z={\rm {cte}}}=\rho \,d\rho \,d\varphi \,{\hat {z}}}
Diferencial de volumen [ editar ]
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
d
V
=
h
1
h
2
h
3
d
q
1
d
q
2
d
q
3
{\displaystyle dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}}
que para coordenadas cilíndricas da
d
V
=
ρ
d
ρ
d
φ
d
z
{\displaystyle dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas[ editar ]
El gradiente , la divergencia , el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:
∇
ϕ
=
∂
ϕ
∂
ρ
ρ
^
+
1
ρ
∂
ϕ
∂
φ
φ
^
+
∂
ϕ
∂
z
z
^
{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}
∇
⋅
F
→
=
1
ρ
∂
(
ρ
F
ρ
)
∂
ρ
+
1
ρ
∂
F
φ
∂
φ
+
∂
F
z
∂
z
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
∇
×
F
→
=
1
ρ
|
ρ
^
ρ
φ
^
z
^
∂
∂
ρ
∂
∂
φ
∂
∂
z
F
ρ
ρ
F
φ
F
z
|
=
ρ
^
(
1
ρ
∂
F
z
∂
φ
−
∂
F
φ
∂
z
)
+
φ
^
(
∂
F
ρ
∂
z
−
∂
F
z
∂
ρ
)
+
z
^
[
1
ρ
∂
(
ρ
F
φ
)
∂
ρ
−
1
ρ
∂
F
ρ
∂
φ
]
{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho \,{\hat {\varphi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\,\rho F_{\varphi }&F_{z}\end{matrix}}\right|={\hat {\rho }}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\hat {\varphi }}\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\hat {z}}\left[{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right]}
∇
2
ϕ
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
ϕ
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
ϕ
∂
φ
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}