Coordenadas cilíndricas

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El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,), donde:

  • ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano
  • φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radiovector sobre el plano .
  • : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .
Cylindrical coordinate surfaces.png

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas[editar]

Relación con las coordenadas cartesianas[editar]

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Líneas y superficies coordenadas[editar]

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

  • Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje .
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
  • Líneas coordenadas : Rectas verticales.
Lineas coordenadas cilindricas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
  • Superficies =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada[editar]

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

Diferenciales de línea, superficie y volumen[editar]

Diferencial de línea[editar]

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie[editar]

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

  • ρ=cte:
  • φ=cte:
  • z=cte:

Diferencial de volumen[editar]

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas[editar]

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:

  • Gradiente
  • Divergencia
  • Rotacional
  • Laplaciano