Coordenadas cilíndricas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

  • ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
  • φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
  • z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Cylindrical coordinate surfaces.png

Los rangos de variación de las tres coordenadas son


0\leq \rho <\infty\qquad 0\leq \varphi< 2\pi\qquad -\infty< z < \infty

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas[editar]

Relación con las coordenadas cartesianas[editar]

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:


x=\rho \cos \varphi,\qquad    
y=\rho \sin \varphi,\qquad        
z=z

Líneas y superficies coordenadas[editar]

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

  • Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
  • Líneas coordenadas z: Rectas verticales.
Lineas coordenadas cilindricas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
  • Superficies z=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada[editar]

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones


\hat{\rho}  = \cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\,\varphi\,\hat{y}

\hat{\varphi}  = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

\hat{z}  = \hat{z}

e inversamente


\hat{x}  = \cos\varphi\,\hat{\rho} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{y}  = {\rm sen}\varphi\,\hat{\rho} + \cos\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{z}  = \hat{z}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala


h_\rho = 1 \qquad h_\varphi = \rho \qquad h_z = 1

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es


\vec r = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z}

Nótese que no aparece un término \varphi\,\hat{\varphi}. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:


\begin{array}{rcl}
\vec r & = & x \vec i + y \vec j + z \vec k \\
 \     & = & \rho \cos\varphi\ \vec i + \rho \sin\varphi\ \vec j + z \vec k \\
 \     & = & \rho ( \cos\varphi\ \vec i + \sin\varphi\ \vec j) + z \vec k \\
 \     & = & \rho \hat{\rho} + z \hat{z}
\end{array}

Diferenciales de línea, superficie y volumen[editar]

Diferencial de línea[editar]

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por


d\vec r = h_\rho\,d\rho\,\hat{\rho}+h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}+h_z\,dz\,\hat{z}
=d\rho\,\hat{\rho}+\rho\,d\varphi\,\hat{\varphi}+dz\,\hat{z}

Diferenciales de superficie[editar]

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q_3={\rm cte.} el resultado es


d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

  • ρ=cte: d\vec S_{\rho={\rm cte}} = \rho\,d\varphi\,dz\,\hat{\rho}
  • φ=cte: d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = d\rho\,dz\,\hat{\varphi}
  • z=cte: d\vec S_{z={\rm cte}} = \rho\,d\rho\,d\varphi\,\hat{z}

Diferencial de volumen[editar]

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que


dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas cilíndricas da


dV = \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas[editar]

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:

  • Gradiente

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+
\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}
  • Divergencia

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
  • Rotacional

\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left|
\begin{matrix}
\hat{\rho} & \rho\,\hat{\varphi} & \hat{z}  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
F_\rho & \rho\,F_\varphi & F_z
\end{matrix}\right|
  • Laplaciano

\nabla^2\phi= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right)
+ \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}