Integral de línea

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.

En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
• o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Integral de línea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar

Sea $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, si $f:C\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar $f$ sobre $C$ (también llamada integral de trayectoria), está definida como

$$\int _{C}f\;ds=\int \limits _{a}^{b}{f(\mathbf {r} (t))}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt$$

La función $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de $C$ donde $\mathbf {r} (a)$ y $\mathbf {r} (b)$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando $f=1$ entonces obtenemos la longitud de la curva $C$, esto es

$$L(C)=\int _{C}ds=\int \limits _{a}^{b}\|\mathbf {r'} (t)\|\;dt$$

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de $C$ porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de $C$, esto es, si $C$ es una curva simple orientada y $-C$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

$$\int _{C}f\;ds=\int _{-C}f\;ds$$

Integral de línea de un campo vectorial

Sean $\mathbf {F} :U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ un campo vectorial continuo en una región $U$ y $C\subset U$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, la integral de línea del campo vectorial $\mathbf {F}$ sobre $C$ en la dirección de $\mathbf {r}$, está definida como

$$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$$

donde $\cdot$ es el producto escalar y la función $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de $C$ donde $r(a)$ y $r(b)$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de $C$, no son independientes de la orientación de $C$, para este tipo de integrales, si $C$ es una curva simple orientada y $-C$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

$$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{-C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$$

Relación con las integrales de línea de campos escalares

Para trayectorias $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ que satisfagan $\mathbf {r'} (t)\neq \mathbf {0} ,\;\forall \;t\in [a,b]$ si

$$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}$$

denota un vector tangente unitario a $C$ entonces

$${\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {r'} (t)\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r'} (t)\right)\cdot {\frac {\mathbf {r'} (t)}{\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|}}\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{a}^{b}\left[\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t)\right)\cdot \mathbf {T} (t)\right]\left\|\mathbf {r'} (t)\right\|\;dt\\&=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds\\&=\int _{C}f\;ds\end{aligned}}$$

donde $f=\mathbf {F} \cdot \mathbf {T}$, por lo tanto

$$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {T} \;ds$$

Forma Diferencial

Otra forma normalmente utilizada para escirbir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que $\mathbf {F}$ es un campo vectorial en $\mathbb {R} ^{2}$ de la forma $\mathbf {F} (x,y)=\left(M,N\right)$ y $C$ es una curva parametrizada por $\mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right),\;a\leq t\leq b$ entonces

$${\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{C}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\;dt\\&=\int _{a}^{b}(M,N)\cdot \left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{a}^{b}\left(M\;{\frac {dx}{dt}}+N\;{\frac {dy}{dt}}\right)dt\\&=\int _{C}M\;dx+N\;dy\end{aligned}}$$

Decimos que la expresión $M\;dx+N\;dy$ es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en $\mathbb {R} ^{3}$.

Integrales de línea sobre curvas cerradas

Si $C$ es una curva cerrada simple entonces es común la notación

$$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$$

y para la forma diferencial

$$\oint _{C}M\;dx+N\;dy$$

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea

Sea $\mathbf {F} :U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ una función continua en la región $U$, decimos que $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo en $U$ si existe $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $\mathbf {F} =\nabla f$, en este caso decimos que $f$ es una campo potencial de $\mathbf {F}$.

Si $\mathbf {F} :U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ es un campo vectorial conservativo en $U$ y $C\subset U$ una curva suave a trozos parametrizada por una función $\mathbf {r} :[a,b]\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ entonces

$$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {r} (b))-f(\mathbf {r} (a))$$

En particular, si $C$ es una curva orientada cerrada y simple

$$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\oint _{C}\nabla f\cdot d\mathbf {r} =0$$

Lo anterior dice que cuando $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización $\mathbf {r}$, en otras palabras, si usásemos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si $\mathbf {F}$ es un campo vectorial conservativo.

Integrales de línea en el Plano Complejo

Dada una curva en el plano complejo $\Gamma \subset \mathbb {C}$ descrita por una parametrización

$\gamma :[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} ,\gamma (t)=X(t)+iY(t)$

y una función compleja

$f:D\subseteq \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,f(z)=u(z)+iv(z)$

con $u$, $v$ funciones reales y continuas en $\Gamma$. Supongamos que la derivada de la función $\gamma$ existe, es continua y no nula dentro del intervalo $[a,b]$.

La integral de línea de f sobre Γ se define como ​ $\int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\Big (}\gamma (t){\Big )}\cdot \gamma '(t)dt=$ $=\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\!-\!v{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\right]dt\!+\!i\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\!+\!v{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\right]dt$

Cuando $f$ es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

Véase también

• Ecuación paramétrica
• Integral de Superficie
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes
• Teorema de Gauss

Enlaces externos

• Integral de línea de un campo vectorial (inglés) - Interactivo - Explicaciones Gráficas

• Datos: Q467699
• Multimedia: Line integral / Q467699