Integral de línea

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Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.

En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.

La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.

Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:

  • El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
  • El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Integral de línea de un campo escalar[editar]

Integral de línea de un campo escalar

Definición[editar]

Sea una curva suave a trozos parametrizada por una función , si es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar sobre (también llamada integral de trayectoria), está definida como

La función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando entonces obtenemos la longitud de la curva , esto es

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de , esto es, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

Interpretación[editar]

Geométricamente, cuando el campo escalar está definida sobre el plano , su gráfica es una superficie en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valle entre la base de la imagen de y la gráfica de .

Deducción[editar]

Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann .

Comencemos subdividiendo el intervalo por medio de la partición

lo anterior conduce a una descomposición de en trayectorias definidas en el intervalo para , si denotamos la longitud de arco de por entonces

Cuando , es decir, es grande, la longitud de arco es pequeña y es aproximadamente constante para puntos en . Consideremos las sumas

donde está definida para .

Por el teorema del valor medio, donde y . A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que

Ejemplo 1[editar]

Se desea evaluar la integral de línea

sobre la hélice , .

En primer lugar notemos que

por lo que

y como

entonces

Ejemplo 2[editar]

Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio es , es decir, buscamos hallar

siendo la longitud de una circunferencia de radio .

Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es

Dado que

Por lo tanto

Integral de línea de un campo vectorial[editar]

Definición[editar]

Sean un campo vectorial continuo en una región y una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial sobre en la dirección de , está definida como

donde es el producto escalar y la función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

Relación con las integrales de línea de campos escalares[editar]

Para trayectorias que satisfagan si

denota un vector tangente unitario a entonces

donde , por lo tanto

Forma diferencial[editar]

Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que es un campo vectorial en de la forma y es una curva parametrizada por entonces

Decimos que la expresión es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en .

Integrales de línea sobre curvas cerradas[editar]

Si es una curva cerrada simple entonces es común la notación

y para la forma diferencial

Teorema fundamental de las integrales de línea[editar]

Campo vectorial conservativo[editar]

Sea una función continua en la región , decimos que es un campo vectorial conservativo en si existe tal que , en este caso decimos que es un campo potencial de .

Teorema[editar]

Si es un campo vectorial conservativo en y una curva suave a trozos parametrizada por una función entonces

En particular, si es una curva orientada cerrada y simple

Lo anterior dice que cuando es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización . En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) es un campo vectorial conservativo.

Integrales de línea en el plano complejo[editar]

En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que es una región abierta en el plano complejo, es una función y es una curva de longitud finita parametrizada por

donde

Si la parametrización es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:

Cuando es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]