Grupo resoluble

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición[editar]

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos $\{G_{i}\}_{i=1}^{n}\subset G$ tal que:

\{1_{G}\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \dots \subseteq G_{n}=G,

donde para cada $i=0,1,\dots ,n-1$ se cumple que:

$G_{i}$ es subgrupo normal en $G_{i+1}$ , notado usualmente como $G_{i}\triangleleft G_{i+1}$ .

El grupo cociente $G_{i+1}/G_{i}$ es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos $G^{(0)}=G$ y $G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]$ . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,

donde

G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)}

para todo i.

El grupo es soluble si existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $G^{(n)}=\{1_{G}\}$ .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo $J$ y un subgrupo normal $N\vartriangleleft J$ , se tiene que $J/N$ es abeliano si y solo si $[J,J]\subseteq N$ .

Ejemplos[editar]

Todo grupo abeliano es resoluble, ya que $\{1\}\subseteq G$ y $1\triangleleft G$ , dado que $x\cdot 1_{G}\cdot x^{-1}\in \{1_{G}\}$ y además $G/\{1\}\simeq G$ , por lo que es abeliano.

$S_{3}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}$ es una torre abeliana, con $A_{n}$ el grupo alternado para $S_{n}$ .

$A_{4}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}$ , es una torre abeliana de $A_{4}$ , donde $V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ .

$S_{4}$ es resoluble. Se puede ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ es una torre abeliana de $S_{4}$ .

$A_{5}$ es un grupo no resoluble, ya que se conoce que $A_{5}$ es simple, por lo que la única cadena posible es $1\triangleleft A_{5}$ , pero $A_{5}$ no es abeliano, dado que $(12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)$ .

Propiedades[editar]

Si $G$ es un grupo soluble y $f:G\to H$ es un homomorfismo de grupos entonces $f(G)$ es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si $N\vartriangleleft G$ y $G$ es soluble entonces $G/N$ es soluble.