Retículo (matemáticas)

Los diagramas de Hasse son ejemplos de retículos.

En matemática, un retículo es una estructura, que puede definirse mediante teoría de conjuntos y mediante álgebra.

Definición como conjunto ordenado

En teoría de conjuntos, un retículo, red o lattice es un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo subconjunto finito no vacío tiene un supremo y un ínfimo. El término "retículo" viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales órdenes.

Definición algebraica

En álgebra, un retículo es un conjunto L, provisto de dos operaciones binarias $\wedge$ y $\vee$, tales que para cualesquiera a, b, c en L,

a $\vee$ a = a	a $\wedge$ a = a	leyes de idempotencia
a $\vee$ b = b $\vee$ a	a $\wedge$ b = b $\wedge$ a	leyes de conmutatividad
a $\vee$ (b $\vee$ c) = (a $\vee$ b) $\vee$ c	a $\wedge$ (b $\wedge$ c) = (a $\wedge$ b) $\wedge$ c	leyes de asociatividad
a $\vee$ (a $\wedge$ b) = a	a $\wedge$ (a $\vee$ b) = a	leyes de absorción

(las leyes de idempotencia se pueden deducir de las leyes de absorción y por lo tanto no tienen que ser establecidas por separado.)

Si las dos operaciones satisfacen estas reglas algebraicas entonces definen un orden parcial ≤ en L por la regla siguiente: a ≤ b ssi a $\vee$ b = b, o, equivalentemente, a $\wedge$ b = a.

L, junto con el orden parcial ≤ así definido, sería entonces un retículo en el sentido orden-teórico antedicho.

Inversamente, si se da un retículo orden-teórico (L, ≤), y escribimos a $\vee$ b para el supremo de {a, b} y a $\wedge$ b para el ínfimo de {a, b}, entonces (L, $\wedge ;\vee$) satisface todos los axiomas de un retículo definido algebraicamente.

Homomorfismos

La clase de todos los retículos forma una categoría si definimos un homomorfismo entre dos retículos (L, $\wedge ;\vee$) y (N, $\wedge ;\vee$) como una función f: L $\rightarrow$ N tal que

f(a $\wedge$ b) = f(a) $\wedge$ f(b);

f(a $\vee$ b) = f(a) $\vee$ f(b);

para todo a y b en L. Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es también un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos. Los dos retículos implicados son entonces isomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian solamente en la notación de sus elementos.

Cada homomorfismo es una función monótona entre los dos retículos, pero no cada función monótona da un homomorfismo de retículo: además necesitamos la compatibilidad con supremos e ínfimos finitos.

Propiedades de los retículos, ejemplos

Un retículo se dice acotado si tiene un elemento mayor y un elemento menor. El elemento más grande es denotado a menudo por 1 y el menor por 0. Si x es un elemento de un retículo acotado entonces cualquier elemento y del retículo que satisface x $\wedge$ y = 0 y x $\vee$ y = 1 se llama un complemento de x. Un retículo acotado en el cual cada elemento tiene un complemento (no necesariamente único) se llama un retículo complementado.

Un retículo en el cual cada subconjunto (incluyendo los infinitos) tiene tanto un supremo como un ínfimo se llama un retículo completo. Los retículos completos siempre son acotados. Muchos de los retículos más importantes son completos. Los ejemplos incluyen:

• Los subconjuntos de un conjunto dado, ordenados por inclusión. El supremo está dado por la unión y el ínfimo por la intersección de subconjuntos.

• El intervalo unidad [0, 1] y la recta extendida de números reales, con el orden total familiar y los usuales supremo e ínfimo.

• Los enteros no negativos, ordenados por divisibilidad. El supremo viene dado por el mínimo común múltiplo y el ínfimo por el máximo común divisor.

• Los subgrupos de un grupo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por el subgrupo generado por la unión de los grupos y el ínfimo viene dado por la intersección.

• Los submódulos de un módulo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por de la suma de submódulos y el ínfimo por la intersección.

• Los ideales de un anillo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por la suma de ideales y el ínfimo por la intersección.

• Los conjuntos abiertos de un espacio topológico, ordenados por la inclusión. El supremo viene dado por la unión de conjuntos abiertos y el ínfimo por el interior de la intersección.

• los subconjuntos convexos de un espacio vectorial real o complejo, ordenado por la inclusión. El ínfimo viene dado por la intersección de conjuntos convexos y el supremo por la clausura convexa de la unión.

• Las topologías en un conjunto, ordenadas por la inclusión. El ínfimo viene dado por la intersección de topologías, y el supremo por la topología generada por la unión de las topologías.

• El retículo de todas las relaciones binarias transitivas en un conjunto.

• El retículo de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto; la relación de equivalencia ~ se considera ser más pequeño (o "más fino") que ≈ si x~y implica siempre x≈y.

El teorema de Knaster-Tarski establece que el conjunto de puntos fijos de una función monótona en un retículo completo es asimismo un retículo completo.

El retículo de submódulos de un módulo y el retículo de los subgrupos normales de un grupo tienen la propiedad especial que x $\vee$ (y $\wedge$ (x $\vee$ z)) = (x $\vee$ y) $\wedge$ (x $\vee$ z) para todo x, y y z en el retículo. Un retículo con esta propiedad se llama un retículo modular. La condición de la modularidad puede también ser establecida como sigue: Si x ≤ z entonces para todo y tenemos la identidad x $\vee$ (y $\wedge$ z) = (x $\vee$ y) $\wedge$ z.

Un retículo se llama distributivo si $\wedge$ distribuye a $\vee$, es decir, x $\wedge$ (y $\vee$ z) = (x $\wedge$ y) $\vee$ (x $\wedge$ z). equivalentemente, $\vee$ distribuye $\wedge$. Todos los retículos distributivos son modulares. Dos tipos importantes de retículos distributivos son los conjuntos totalmente ordenados y las álgebras booleanas (como el retículo de todos los subconjuntos de un conjunto dado). El retículo de los números naturales, ordenados por divisibilidad, es también distributivo. Otras leyes comunes de distributividad (especialmente la ley de distributividad completa) se dan en el artículo sobre distributividad en teoría de la orden.

Nociones importantes retículo-teóricas

En lo siguiente, sea L un retículo. Definimos algunas nociones orden-teóricas que son de importancia particular en teoría de retículos.

Un elemento x de L se llama supremo-irreducible sii

• x = a $\vee$ b implica x = a o x = b para cualquier a, b en L,

• si L tiene un 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Cuando la primera condición se generaliza a supremos arbitrarios Va_i, x se llama totalmente supremo-irreducible. la noción dual se llama ínfimo-irreducibilidad. A veces uno también utiliza los términos $\vee$-irreducibles y $\wedge$-irreducibles, respectivamente.

Un elemento x de L se llama supremo-primo sii

• x ≤ a $\vee$ b implica x ≤ a o x ≤ b,

• Si L tiene 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Una vez más esto se puede generalizar para obtener la noción totalmente supremo-primo y dualizar para ínfimo-primo. Cualquier elemento supremo-primo es también supremo-irreducible, y cualquier elemento ínfimo-primo es también ínfimo-irreducible. Si el retículo es distributivo el inverso es también verdad.

Otras nociones importantes en teoría de retículos son ideal y su noción dual filtro. Ambos términos describen subconjuntos especiales de un retículo (o de cualquier conjunto parcialmente ordenado en general). Los detalles se pueden encontrar en los artículos respectivos.