Supremo

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Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A(diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).

Propiedades[editar]

  • Si el supremo existe, entonces es único
  • \sup(A \cup B)= \max\{\sup(A),\sup(B)\}, si es que dichos supremos existen
  • Un conjunto tiene máximo, si y solo si contiene a su supremo

Ejemplos[editar]

  • En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido dentro del subconjunto.
  • \sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \}  =  \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x  \leq 1 \} = 1\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{Q} | x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,
  • \sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} = 1\,

Referencias[editar]