Distribución de Pareto

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$x_\mathrm{m}>0\,$ escala (real) $\alpha>0\,$ forma (real)
Dominio	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
Función de densidad (pdf)	$\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x>x_m\!$
Función de distribución (cdf)	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!$
Media	$\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,$
Mediana	$x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}$
Moda	$x_\mathrm{m}\,$
Varianza	$\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,$
Coeficiente de simetría	$\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,$
Curtosis	$\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,$
Entropía	$\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!$
Función generadora de momentos (mgf)	$\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,$
Función característica	$\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,$

En estadística la distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía. En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Probabilidad acumulada

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

$Pr(X>x) = \begin{cases} \left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\ 1 & \text{si } x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$

donde x_m es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, x_m y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:

$f_X(x)= \begin{cases} \alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m}, \\[12pt] 0 & \text{si } x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$

Propiedades

• La media o valor esperado de una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetro α > 1 es

$E(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,$

(if α ≤ 1, the expected value does not exist).

• La varianza es

$\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.$

(Si α ≤ 2, la varianza no existe).

• Los momentos son

$\mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,$

pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.

• La función generadora de momentos sólo está definida para valores no positivos de t ≤ 0 según:

$M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = E(e^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,$

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

$\lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \,$

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:

$f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases} (\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1} & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\ 0 & \text{resto}. \end{cases}$

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	$\mu \in (-\infty,\infty) \,$ localización (real) $\sigma \in (0,\infty) \,$ escala (real) $\xi\in (-\infty,\infty) \,$ forma (real)
Dominio	$x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)$
Función de densidad (pdf)	$\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)}$ where $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
Función de distribución (cdf)	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,$
Media	$\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1)$
Mediana	$\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi}$
Varianza	$\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2)$

La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros $\mu,\sigma \,$ y $\xi \,$.

La función de probabilidad acumulada es

$F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases} 1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\ 1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0. \end{cases}$

Para $x \geqslant \mu$, con $\xi \geqslant 0 \,$, y $x \leqslant \mu - \sigma /\xi$ con $\xi < 0 \,$ , donde $\mu\in\mathbb R$ es el parámetro localización, $\sigma>0 \,$ es el parámetro escala y $\xi\in\mathbb R$ es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como $\kappa = - \xi \,$.

La función de densidad de probabilidad es:

$f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.$

o

$f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.$

de nuevo, para $x \geqslant \mu$, y $x \leqslant \mu - \sigma /\xi$ si $\xi < 0 \,$

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1] , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Citas

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.