Distribución de Pareto

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Pareto
Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.
Función de densidad de probabilidad
Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x&nbsp.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros x_\mathrm{m}>0\, escala (real)
\alpha>0\, forma (real)
Dominio x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
Función de densidad (pdf) \frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x>x_m\!
Función de distribución (cdf) 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!
Media \frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,
Mediana x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}
Moda x_\mathrm{m}\,
Varianza \frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,
Coeficiente de simetría \frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,
Curtosis \frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,
Entropía \ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!
Función generadora de momentos (mgf) \alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,
Función característica \alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,
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En estadística la distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.[1] En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Probabilidad acumulada[editar]

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & \text{si } x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}

donde xm es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, xm y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad[editar]

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:


f_X(x)= \begin{cases} 
 \alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m},
 \\[12pt] 0                                         & \text{si } x < x_\mathrm{m}. 
\end{cases}

Propiedades[editar]

E(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,
(si α ≤ 1, el valor esperado no existe).
\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.
(Si α ≤ 2, la varianza no existe).
\mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,
pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.
M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = E(e^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,

Caso degenerado[editar]

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

\lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \,

Distribución simétrica[editar]

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:[2]

f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1}  & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\
0 & \text{resto}.
\end{cases}

Distribución Generalizada de Pareto[editar]

Pareto Generalizado
Parámetros \mu \in (-\infty,\infty) \, localización (real)

\sigma \in (0,\infty)    \, escala (real)

\xi\in (-\infty,\infty)  \, forma (real)
Dominio x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)
\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)
Función de densidad (pdf) \frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)}
where z=\frac{x-\mu}{\sigma}
Función de distribución (cdf) 1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,
Media \mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1)
Mediana \mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi}
Varianza \frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2)
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La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros  \mu,\sigma \, y  \xi \,.

La función de probabilidad acumulada es

F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\
1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0.
\end{cases}

Para  x \geqslant \mu , con  \xi \geqslant 0 \,, y  x \leqslant \mu - \sigma /\xi con  \xi < 0 \,, donde \mu\in\mathbb R es el parámetro localización, \sigma>0 \, es el parámetro escala y \xi\in\mathbb R es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como  \kappa =  - \xi \,.

La función de densidad de probabilidad es:

f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.

o

f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.

de nuevo, para  x \geqslant \mu , y  x \leqslant \mu - \sigma /\xi si  \xi < 0 \,

Software[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

Citas[editar]

  • Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
  • Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
  • Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Enlaces externos[editar]