Distribución zeta

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Distribución zeta
Plot of the Zeta PMF
Dibujo de la función de probabilidad de la distribución Zeta en una escala log-log. (Nótese que la función solo está definda para valores de k enteros.)
Función de probabilidad
Plot of the Zeta CMF

Función de distribución de probabilidad
Parámetros s\in(1,\infty)
Dominio k \in \{1,2,\ldots\}
Función de probabilidad (fp) \frac{1/k^s}{\zeta(s)}
Función de distribución (cdf) \frac{H_{k,s}}{\zeta(s)}
Media \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{para}~s>2
Moda 1\,
Varianza \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{para}~s>3
Entropía \sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!
Función generadora de momentos (mgf) \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}
Función característica \frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}

En teoría de la probabilidad, la distribución zeta es una distribución de probabilidad definida sobre los números naturales con función de probabilidad

P(X=x)=\frac{x^{-s}}{\zeta(s)},

donde s > 1\, es un parámetro que mide la velocidad de decaimiento. Recibe su nombre de la función zeta de Riemann,

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.

Se trata del equivalente discreto de la distribución Pareto. La distribución zeta fue utilizada por el economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923) para estudiar la distribución de los ingresos familiares de un país determinado.