Distribución de Laplace

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Laplace
Densité de la loi de Laplace
Función de densidad de probabilidad
Fonction de répartition de la loi de Laplace
Función de distribución de probabilidad
Parámetros \mu\, Parámetro de localización (real)
b > 0\, Parámetro de escala (real)
Dominio x \in (-\infty; +\infty)\,
Función de densidad (pdf) \frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
Función de distribución (cdf) ver texto
Media \mu\,
Mediana \mu\,
Moda \mu\,
Varianza 2\,b^2
Coeficiente de simetría 0\,
Curtosis 3\,
Entropía \log(2\,e\,b)
Función generadora de momentos (mgf) \frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\! for |t|<1/b\,
Función característica \frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!
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En estadística y en teoría de la probabilidad la distribución de Laplace es una densidad de probabilidad continua, llamada así en honor a Pierre-Simon Laplace. Es también conocida como distribución doble exponencial puesto que puede ser considerada como la relación las densidades de dos distribuciones exponenciales adyacentes. La distribución de Laplace resulta de la diferencia de dos variables exponenciales aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas.

Caracterización[editar]

Densidad de probabilidad[editar]

Una variable aleatoria posee una distribución de Laplace(μ, b) si su densidad de probabilidad es

f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!

    = \frac{1}{2b}
    \left\{\begin{matrix}
      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{si }x < \mu
      \\[8pt]
      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{si }x \geq \mu
    \end{matrix}\right.

Siendo μ un parámetro de localización y b > 0 un parámetro de escala. Si μ = 0 y b = 1, la distribución de Laplace se dice que es estándar y su restricción a los números reales positivos es la distribución exponencial de parámetro 1/2.

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace recuerda la de la distribución normal, pero mientras la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado (x-\mu)^2, la distribución de Laplace hace intervenir la diferencia absoluta |x-\mu|. Así la distribución de Laplace presenta colas más gruesas que la distribución normal.

Función de distribución acumulativa[editar]

La integral de la distribución de Laplace se obtiene con facilidad gracias al uso del valor absoluto. Su función de distribución acumulativa es:

F(x)\, = \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u

   = \left\{\begin{matrix}
             &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{si }x < \mu
             \\[8pt]
             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{si }x \geq \mu
            \end{matrix}\right.
=0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].


La inversa de la función de distribución acumulativa es:

F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|).

Generación de una variable aleatoria con la distribución de Laplace[editar]

Dada una variable aleatoria U, generada por una distribución uniforme continua dentro del intervalo (-1/2, 1/2], la variable aleatoria

X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)

presenta una distribución de Laplace de parámetros μ y b. Esto resulta de la inversa unción de distribución acumulativa y del método de la transformada inversa.

Una variable Laplace(0, b) puede también generarse como la diferencia de dos variables exponenciales, de parámetros 1/b, independientes. Así mismo, un distribución de Laplace(0, 1) puede obtenerse como el logaritmo del cociente de dos variables uniformes independientes.

Estimación de los parámetros[editar]

Dada una muestra de N variables independientes e idénticamente distribuidas (iid) x1, x2, ..., xN, un estimador \hat{\mu} de \mu es la mediana empírica,[1] y un estimador para máxima verosimilitud de b es

\hat{b} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} |x_i - \hat{\mu}|.

Momentos[editar]

\mu_r' = \bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}^r \bigg[{\frac{r!}{k! (r-k)!}} b^k \mu^{(r-k)} k! \{1 + (-1)^k\}\bigg]

Distribuciones relacionadas[editar]

  • Si X \sim \mathrm{Laplace}(0,b)\, entonces |X| \sim \mathrm{Exponencial}(b^{-1})\, es una distribución exponencial;
  • Si X \sim \mathrm{Exponencial}(\lambda)\, y  Y \sim \mathrm{Bernoulli}(0.5)\, independiente de X\,, entonces  X(2Y-1) \sim \mathrm{Laplace} (0,\lambda^{-1}) \,;
  • Si X_1 \sim \mathrm{Exponencial}(\lambda_1)\, y X_2 \sim \mathrm{Exponentielle}(\lambda_2)\, independientes de X_1\,, entonces \lambda_1 X_1-\lambda_2 X_2 \sim \mathrm{Laplace}\left(0,1\right)\,.
  • Si V \sim \mathrm{Exponencial}(1)\, y  Z \sim \mathrm{N}(0,1)\, independiente de V, entonces X = \mu + b \sqrt{2 V}Z \sim \mathrm{Laplace}(\mu,b).
  • La distribución normal generalizada (version 1) iguala a la distribución de Laplace cuando su parámetro \beta es igual a 1. El parámetro de escala \alpha es entonces igual a b.

Referencias[editar]

  1. Robert M. Norton (May 1984). «The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator». The American Statistician 38 (2):  pp. 135–136. doi:10.2307/2683252. http://www.jstor.org/pss/2683252. 

Véase también[editar]