Distribución de Bernoulli

Bernoulli
Parámetros	$0<p<1, p\in\R$
Dominio	$k=\{0,1\}\,$
Función de probabilidad (fp)	$\begin{matrix} q=(1-p) & \mbox{para }k=0 \\p~~ & \mbox{para }k=1 \end{matrix}$
Función de distribución (cdf)	$\begin{matrix} 0 & \mbox{para }k<0 \\q & \mbox{para }0\leq k<1\\1 & \mbox{para }k\geq 1 \end{matrix}$
Media	$p\,$
Mediana	N/A
Moda	$\begin{matrix} 0 & \mbox{si } q > p\\ 0 y 1 & \mbox{si } q=p\\ 1 & \mbox{si } q < p \end{matrix}$
Varianza	$pq\,$
Coeficiente de simetría	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Curtosis	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
Entropía	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Función generadora de momentos (mgf)	$q+pe^t\,$
Función característica	$q+pe^{it}\,$

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ($p$) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ($q=1-p$).

Si $X$ es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria $X \,$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p \,$.

$X \sim Be(p) \,$

La fórmula será:

$f(x) = p^x(1-p)^{1-x} \, \qquad \text{ con } \, x = \{0, 1\} \,$

Su función de probabilidad viene definida por:

$f\left(x;p\right) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {en cualquier otro caso}\end{matrix}\right.$

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Propiedades características

Esperanza matemática:

$E\left[X\right] = p = u$

Varianza:

$var\left[X\right] = p \left(1 - p\right) = p q$

Función generatriz de momentos:

$\left( q + p e^{t} \right)$

Función característica:

$\left( q + p e^{i t} \right)$

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):

$\gamma_1 = \frac{q - p}{ \sqrt{q p} }$

Curtosis:

$\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$

La Curtosis tiende a infinito para valores de $p$ cercanos a 0 ó a 1, pero para $p=\frac{1}{2}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

Distribuciones Relacionadas

• Si $X_1, X_2, X_3, \dots ,X_n$ son $n$ variables aleatorias identicamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito $p$ en todas, entonces la variable aleatoria $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ presenta una Distribución Binomial de probabilidad.

$X \sim Bi(n, p)$

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

$X \sim Be(0,5)$

$P(X = 0) = f(0) = 0,5^0 0,5^1 = 0,5$

$P(X = 1) = f(1) = 0,5^1 0,5^0 = 0,5$

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Ejemplo:

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la principio de indiferencia|principio de indiferencia de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

$p = 1/6$

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

$q = 1 - p = 1- 1/6 = 5/6$

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p$ = 1/6

$X \sim Be(1/6)$

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

$P(X = 1) = f(1) = (1/6)^1 * (5/6)^0 = 1/6 = 0.1667$

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

$P(X = 0) = f(0) = (1/6)^0 * (5/6)^1 = 5/6 = 0.8333$

Véase también

• Distribución de probabilidad
• Distribución binomial
• Distribución geométrica la distribución de probabilidad del número de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener un éxito.