Diferencial de una función

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En el campo de la matemática llamado cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

dy = f'(x)\,dx,

donde f'(x) es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

dy = \frac{dy}{dx}\, dx

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir

df(x) = f'(x)\,dx.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Definición[editar]

El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.[1] El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

df(x) = f'(x) \, dx

se mantiene.

Interpretación geométrica del diferencial[editar]

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  \Delta x \, que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente per x \, y \Delta x \,.

Generalizaciones[editar]

Matriz jacobiana[editar]

Para funciones de más de una variable, el concepto de diferencial es generalizado mediante la matriz jacobiana. La matriz jacobiana es una representación en coordenadas de una aplicación lineal que aproxima en primer orden una función de \scriptstyle \R^m a \scriptstyle \R^n. Los requerimientos de diferenciabilidad en espacios euclídeos de dimensión superior a 1, son un poco más exigentes que en \scriptstyle \R, ya que la simple existencia de derivadas no es suficiente para asegurar la diferenciabilidad.

Aplicaciones entre variedades[editar]

Dadas dos variedades diferenciables \scriptstyle \mathcal{M} de dimensión m y \scriptstyle \mathcal{N} de dimensión n y una aplicación entre ellas \scriptstyle \phi:\mathcal{M}\to \mathcal{N} el concepto de aplicación diferencial tangente (o pushforward) es una aplicación lineal entre los fibrados tangentes de ambas variedades. Una aplicación de ese tipo se dice diferenciable si dada una carta local \scriptstyle (U,\psi_U)\ (U \subset \mathcal{M}) que contenga al punto \scriptstyle p y \scriptstyle (V,\psi_V)\ (V \subset \mathcal{N}) que contenga a \scriptstyle \phi(p), la mmmm \scriptstyle F:\psi_U(U) \subset \R^m \to \psi_V(V) \subset \R^nes diferenciable como función de \scriptstyle \R^m a \scriptstyle \R^n.

Para definir la noción de aplicación lineal tangente de una aplicación diferenciable entre variedades debe tenerse en cuenta el hecho de que el espacio tangente a una variedad diferenciable puede identificarse con el conjunto de derivaciones sobre el espacio de funciones definidas sobre la variedad. En esa identificación una derivación se puede llegar a identificar como "la derivada direccional" en una cierta dirección. Dado ese vínculo un vector queda caracterizado por su acción sobre las funciones definidas sobre una variedad. A partir de esa noción dada una aplicación diferenciable \scriptstyle \phi:\mathcal{M}\to \mathcal{N} se define la aplicación lineal tangente:

\phi_*:T\mathcal{M} \to T\mathcal{N}

Tal que a un vector en p \scriptstyle (p,\mathbf{v}) le asigna el único vector \scriptstyle (\phi(p),\mathbf{w}) que hace que se cumpla que:

\phi_*(\mathbf{v})(\tilde{f})|_p = \mathbf{w}(f)|_{\phi(p)},\quad \forall f:\mathcal{N}\to \R

Donde:

\tilde{f} := \phi\circ f: \mathcal{M}\to \R

Notas[editar]

Referencias[editar]