Aproximación lineal

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Línea tangente en (a, f(a))

En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

 f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + o(x)

donde o(x) es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, o(x)/x tiende a 0 cuando x tiende a a). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

 f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo[editar]

1.Para encontrar la aproximación lineal de \sqrt[3]{25} se hace lo siguiente:

  1. Considérese la función  f(x)= x^{1/3}.\,
  2. Se tiene la derivada:
     f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}.
  3. Según lo ya visto,
     f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.
  4. El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

Véase también[editar]