Trasposición de un operador lineal

Véase también: Matriz traspuesta

En álgebra lineal, la trasposición de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, definida sobre el mismo cuerpo, es otra aplicación inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales. La trasposición o adjunto algebraico de una aplicación lineal se utiliza a menudo para estudiar la aplicación lineal original. Este concepto está generalizado por los funtores adjuntos.

Definición

Véase también: Sistema dual

Sea $X^{\#}$ el espacio dual de un espacio vectorial $X.$ Sean $X$ y $Y$ espacios vectoriales sobre el mismo campo ${\mathcal {K}}.$ Si $u:X\to Y$ es una aplicación lineal, entonces su adjunto algebraico o dual,​ es la aplicación ${}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}$ definida por $f\mapsto f\circ u.$ El funcional resultante ${}^{\#}u(f):=f\circ u$ se llama retorno de $f$ por $u.$

El espacio dual de un espacio vectorial topológico (EVT) $X$ se denota por $X^{\prime }.$ Si $X$ y $Y$ son EVTs, entonces un aplicación lineal $u:X\to Y$ es débilmente continua si y solo si ${}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },$, en cuyo caso se tiene que ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ denota la restricción de ${}^{\#}u$ a $Y^{\prime }.$ La aplicación ${}^{t}u$ se llama trasposición​ o adjunto algebraico de $u.$ La siguiente identidad caracteriza la traspuesta de $u$:​

$\left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{for all }}f\in Y^{\prime }{\text{and }}x\in X,$

donde $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ es el natural pairing definido por $\left\langle z,h\right\rangle :=z(h).$

Propiedades

La asignación $u\mapsto {}^{t}u$ produce un aplicación lineal función inyectiva entre el espacio de operadores lineales de $X$ a $Y$ y el espacio de operadores lineales de $Y^{\#}$ a $X^{\#}.$ Si $X=Y$ entonces el espacio de aplicaciones lineales es un algebra bajo función compuesta, y la asignación es entonces un antihomomorphism de álgebras, lo que significa que ${}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.$ En el lenguaje de teoría de categorías, tomar el dual de espacios vectoriales y la trasposición de aplicaciones lineales es, por tanto, un funtor de la categoría de espacios vectoriales sobre ${\mathcal {K}}$ a sí mismo. Se puede identificar ${}^{t}\left({}^{t}u\right)$ con $u$ usando la inyección natural en el doble dual.

• Si $u:X\to Y$ y $v:Y\to Z$ son aplicaciones lineales, entonces ${}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v$​
• Si $u:X\to Y$ es un isomorfismo del espacio vectorial (función sobreyectiva), entonces también lo es la traspuesta ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.$
• Si $X$ y $Y$ son espacio vectorial normado, entonces

$\|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{for each }}x\in X$

y si el operador lineal $u:X\to Y$ está acotado entonces el norma de operador de ${}^{t}u$ es igual a la norma de $u$; eso es​​

$$\|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,$$

y además,

$$\|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.$$

Polares

Supongamos ahora que $u:X\to Y$ es un operador lineal débilmente continuo entre espacio vectorial topológicos $X$ y $Y$ con espacios duales continuos $X^{\prime }$ y $Y^{\prime },$ respectivamente. Sea $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C}$ el dual system canónico, definido por $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x$ donde se dice que $x$ y $x^{\prime }$ son orthogonal si $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.$ Para cualquier subconjunto $A\subseteq X$ y $S^{\prime }\subseteq X^{\prime },$, dejemos

$A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}$

denota el ( absoluto) polar de $A$ en $X^{\prime }$ (resp. de $S^{\prime }$ en $X$ ).

• Si $A\subseteq X$ y $B\subseteq Y$ son conjuntos convexos y débilmente cerrados que contienen el origen, entonces ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ implica $u(A)\subseteq B.$​
• Si $A\subseteq X$ y $B\subseteq Y$ entonces​

$[u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)$

y

$u(A)\subseteq B\quad {\text{implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.$

• Si $X$ y $Y$ son locally convex entonces​

$\operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.$

Aniquiladores

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacio vectorial topológico y $u:X\to Y$ es un operador lineal débilmente continuo (por lo tanto, $\left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }$). Los subconjuntos dados $M\subseteq X$ y $N\subseteq X^{\prime },$ definen su annihilators (con respecto al sistema dual canónico) por​

${\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}$

y

${\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}$

• El kernel de ${}^{t}u$ es el subespacio de $Y^{\prime }$ ortogonal a la imagen de $u$:​

$\ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }$

• la aplicación lineal $u$ es función inyectiva si y solo si su imagen es un subconjunto débilmente denso de $Y$ (es decir, la imagen de $u$ es densa en $Y$ cuando a $Y$ se le da la topología débil inducida por $\operatorname {ker} {}^{t}u$). ​
• La traspuesta ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ es continua cuando tanto $X^{\prime }$ como $Y^{\prime }$ están dotados con weak-* topology (resp. ambos dotados con la topología strong dual, ambos dotados con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos, ambos dotados con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos ). ​
• (Surjection of Fréchet spaces): Si $X$ y $Y$ son Espacio de Fréchet, entonces el operador lineal continuo $u:X\to Y$ es función sobreyectiva si y solo si (1) la traspuesta ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ es función inyectiva y (2) la imagen de la traspuesta de $u$ es débilmente cerrada (es decir, weak-*). cerrado) subconjunto de $X^{\prime }.$​

Duales de espacios cocientes

Sea $M$ un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$ y denote la aplicación del cociente canónico por

$\pi :X\to X/M\quad {\text{where }}\quad \pi (x):=x+M.$

Supongamos que $X/M$ está dotado de espacio cociente (topología) inducido por la aplicación de cociente $\pi :X\to X/M.$ Entonces la traspuesta dla aplicación cociente se valora en $M^{\bot }$ y

${}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }$

es un isomorfismo EVT en $M^{\bot }.$ Si $X$ es un espacio de Banach, entonces ${}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }$ también es un isometría. ​ Usando esta traspuesta, cada funcional lineal continuo en el espacio cociente $X/M$ se identifica canónicamente con un funcional lineal continuo en el aniquilador $M^{\bot }$ de $M.$.

Duales de subespacios vectoriales

Sea $M$ un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff $X.$ Si $m^{\prime }\in M^{\prime }$ y si $x^{\prime }\in X^{\prime }$ es una extensión lineal continua de $m^{\prime }$ a $X$, entonces la asignación $m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }$ induce un isomorfismo en el espacio vectorial

$M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),$

que es una isometría si $X$ es un espacio de Banach. ​

Denote el inyección canónica por

$\operatorname {In} :M\to X\quad {\text{where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{for all }}m\in M.$

La traspuesta dla aplicación de inclusión es

${}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }$

cuyo núcleo es el aniquilador $M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{for all }}m\in M\right\}$ y que es sobreyectivo por el Teorema de Hahn–Banach. Este aplicación induce un isomorfismo de espacios vectoriales.

$X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.$

Representación como matriz

Si la aplicación lineal $u$ está representado por matrix $A$ con respecto a dos bases de $X$ y $Y,$ entonces ${}^{t}u$ está representado por la matriz matriz traspuesta

$A^{T}$ con respecto a las bases duales de $Y^{\prime }$ y $X^{\prime },$ de ahí el nombre. Alternativamente, como $u$ está representado por $A$ que actúa hacia la derecha en los vectores de columna, ${}^{t}u$ está representado por la misma matriz que actúa hacia la izquierda en los vectores de fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en $\mathbb {R} ^{n},$ que identifica el espacio de los vectores columna con el espacio dual de los vectores fila.

==Relación con el== adjunto hermitiano

Véase también: Riesz representation theorem

La identidad que caracteriza a la traspuesta, es decir, $\left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],$ es formalmente similar a la definición de Hermitian adjoint, sin embargo, la traspuesta y el adjunto hermitiano no son el mismo aplicación. La traspuesta es un aplicación $Y^{\prime }\to X^{\prime }$ y está definido para aplicaciones lineales entre cualquier espacio vectorial $X$ y $Y,$ sin requerir ninguna estructura adicional. El adjunto hermitiano asigna $Y\to X$ y solo se define para aplicaciones lineales entre espacios de Hilbert, tal como se define en términos de espacio prehilbertiano en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, el adjunto hermitiano requiere más estructura matemática que la traspuesta.

Sin embargo, la traspuesta se usa a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con un nondegenerate bilinear form como el producto escalar euclidiano u otro real espacio prehilbertiano. En este caso, la forma bilineal no degenerada es a menudo used implícitamente para mapear entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar la aplicación traspuesto como un aplicación $Y\to X.$. Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian la traspuesta al aplicación adjunto.

Más precisamente: si $X$ y $Y$ son espacios de Hilbert y $u:X\to Y$ es una aplicación lineal, entonces la traspuesta de $u$ y el adjunto hermitiano de $u,$ que denotaremos respectivamente por ${}^{t}u$ y $u^{*},$ están relacionados. Denotemos por $I:X\to X^{*}$ y $J:Y\to Y^{*}$ las isometrías antilineales canónicas de los espacios de Hilbert $X$ y $Y$ en sus duales. Entonces $u^{*}$ es la siguiente composición de aplicaciones:​

$Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X$

Aplicaciones al análisis funcional

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacio vectorial topológico y que $u:X\to Y$ es un aplicación lineal, entonces muchas de las propiedades de $u$ se reflejan en ${}^{t}u.$.

• Si $A\subseteq X$ y $B\subseteq Y$ son conjuntos convexos débilmente cerrados que contienen el origen, entonces ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ implica $u(A)\subseteq B.$​
• El espacio nulo de ${}^{t}u$ es el subespacio de $Y^{\prime }$ ortogonal al rango $u(X)$ de $u.$​
• ${}^{t}u$ es inyectivo si y solo si el rango $u(X)$ de $u$ está débilmente cerrado.​

Véase también

• Funtores adjuntos
• Operador composición
• Operador adjunto
• Teorema de representación de Riesz

Bibliografía

• Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4 .
• Plantilla:Rudin Walter Functional Analysis
• Plantilla:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Plantilla:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels

• Datos: Q2858846