Teorema de Hahn–Banach

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En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.

El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.

El teorema de Hahn-Banach (forma analítica)[editar]

Un funcional sublineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo \scriptstyle\mathbb{K} (que puede ser los números reales \scriptstyle\mathbb{R} o complejos \scriptstyle\mathbb{C}) es una función \scriptstyle p:V\rightarrow\mathbb{R} que verifica:

p(ax+by)\leq|a|p(x) + |b|p(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.

Ejemplos de funcionales sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.

Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si \scriptstyle p:V\rightarrow\mathbb{K} es un funcional sublineal, y \scriptstyle f:S\rightarrow\mathbb{K} es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial S de V que está acotado por \scriptstyle p sobre S i.e.

| f(x)|\leq p(x)\qquad\forall x \in S

entonces existe una extensión lineal \hat{f}:V\rightarrow\mathbb{K} de f a todo el espacio V i.e. existe un funcional lineal \hat{f} tal que

\hat{f}(x) = f(x)\qquad\forall x\in S

y

|\hat{f}(x)|\leq p(x)\qquad\forall x\in V.

La extensión \hat{f} no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar \hat{f}.

Consecuencias[editar]

El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":

  • Hahn-Banach para espacios normados. Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio vectorial normado tiene una extensión continua \hat{f} a todo el espacio tal que el funcional y su extensión tienen la misma norma.
  • Hahn-Banach (primera forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre \scriptstyle\mathbb{R}, siendo al menos uno de los dos subconjuntos abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio.
  • Hahn-Banach (segunda forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre \scriptstyle\mathbb{R}, siendo al menos uno de los dos subconjuntos cerrado y el otro compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto.

Referencias[editar]

  • Brézis, Haïm (1984). Análisis funcional: Teoría y aplicaciones. Alianza Editorial.