Operador adjunto

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En matemáticas, para todo operador lineal sobre un espacio de Hilbert puede definirse su operador adjunto. Éste es una generalización del concepto de matriz adjunta al caso de espacios de dimensión infinita.

Definición[editar]

Para definir el operador adjunto a un operador lineal dado, se ha de especificar el dominio de dicho operador y sus imágenes: {{definición|1=Sea A : DAHH un operador lineal sobre un espacio de Hilbert y sea xH un vector de dicho espacio. Si para cada vector yDA en el dominio de A se tiene:

No se pudo entender (error léxico): H'' en el espacio, entonces se dice que ''x'' está en el dominio del '''operador adjunto''' de ''A'', ''A''*,<ref>Es común también la notación ''A''<sup>†</sup>, «''A'' daga».</ref> y que ''z'' es la imagen de ''x'' por dicho operador: {{ecuación|<math>x\in D_{A^*}\text{ , }z=A^* x

.

Ejemplos.

P : D_P\subset L^2\to L^2\text{ , }Pf=-if'

dentro del subespacio DPL2 de funciones derivables cuya derivada esté a su vez en L2. El producto escalar de Pf con otra función g es:

\langle g,\,Pf\rangle=\int\,g^*\,(Pf) = -i\int\, g^*\,f'

y puede aplicarse entonces integración por partes siempre que g sea derivable:

\langle g,\,Pf\rangle= -i\int\, g^*\,f'=i\int\,g'^*\,f=\int\,(-ig')^*\,f

Para que g esté en el dominio del operador adjunto P*, además de ser derivable, –ig' ha de pertenecer a L2. Por lo tanto, el subespacio DP* es igual a DP, y el operador P* actúa del mismo modo que P, por lo que son idénticos (es decir, el operador P es autoadjunto).

Referencias[editar]

  • Akhiezer, N.I.; Glazman, I.M. (1993). Theory of Linear Operators in Hilbert Space (en inglés). Dover Publications. ISBN 0-486-67748-6.