Trigonometría

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es ("la medición de los triángulos"). Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".​

La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, se usa en topografia, arquitectura o en construccion.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay $2\pi$ radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

$\operatorname {sin} (\alpha )={\frac {a}{c}}$

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

Es el cociente del seno entre el coseno.

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc(\alpha )={\frac {1}{\operatorname {sin} (\alpha )}}={\frac {c}{a}}$

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\frac {c}{b}}$

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

$\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\frac {b}{a}}$

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

$y=\operatorname {sen} (x)\,$

y es igual al seno de x, la función inversa:

$x=\operatorname {arcsen} (y)\,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y=\cos(x)\,$

y es igual al coseno de x, la función inversa:

$x=\arccos(y)\,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

$y=\tan(x)\,$

y es igual al tangente de x, la función inversa:

$x=\arctan(y)\,$

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas

Circunferencia en radianes.

Circunferencia en Grado sexagesimal.

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián	Ángulo	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\infty \,\!$	$1\,$	$\infty \,\!$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\infty \,\!$	$1\,$	$\infty \,\!$	$0\,$

Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

${\frac {\;{\overline {AC}}\;}{\overline {OA}}}={\frac {\;{\overline {BD}}\;}{\overline {OB}}}$

La distancia ${\overline {OB}}$, es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\operatorname {sen} (a)={\overline {AC}}\,$

$\cos(a)={\overline {OA}}\,$

$\tan(a)={\overline {BD}}\,$

tenemos:

${\frac {\operatorname {sen} (a)}{\cos(a)}}={\frac {\tan(a)}{1}}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

$\operatorname {sen} (0)=0\,$

$\cos(0)=1\,$

$\tan(0)=0\,$

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 $\pi$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 $\pi$ rad, el seno vale 1 y el coseno 0.ustedes son unos: satoidi, porfavor leer al reves

Segundo cuadrante

Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 $\pi$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 $\pi$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los $\pi$ rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 $\pi$ rad, hasta que valga 0, para a= $\pi$ rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 $\pi$ rad, hasta –1, para a= $\pi$ rad.

La tangente conserva la relación:

$\tan(a)={\frac {\operatorname {sen} (a)}{\cos(a)}}$

incluyendo el signo de estos valores.

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de $\pi$ rad a 1,5 $\pi$ rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para $\pi$ rad:

$\operatorname {sen} (\pi )=0\,$

$\cos(\pi )=-1\,$

$\tan(\pi )=0\,$

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto A se acerca a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.

Cuando el ángulo a alcance 1,5 $\pi$ rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 $\pi$ rad y 2 $\pi$ rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 $\pi$ rad:

$\operatorname {sen} (1,5\,\pi )=-1\,$

$\cos(1,5\,\pi )=0\,$

$\tan(1,5\,\pi )=\infty \,$

hasta los que toman para 2 $\pi$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$\operatorname {sen} (2\,\pi )=\sin(0)=0\,$

$\cos(2\,\pi )=\cos(0)=1\,$

$\tan(2\,\pi )=\tan(0)=0\,$

como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando a, vale 2 $\pi$ o 0 $\pi$ al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Representación gráfica

Archivo:FuncionTrigonometria.svg

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por $\pi$ Radián.

Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen cinco identidades fundamentales :

Recíprocas :

$senU*cscU=1$

$cosU*secU=1$

$tanU*cotU=1$

De división:

$tanU=senU/cosU$

Como en el triángulo rectángulo se cumple que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

$\operatorname {sen} ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 – α) = cos α

cos (90 – α) = sen α

sen (180 – α) = sen α

cos (180 – α) = –cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos²α - sen²α

sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β

2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β);

2 sen²(α) = 1 – cos(2α);

2 cos²(α) = 1 + cos(2α);

sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)

Véase también: Sinusoide

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

$\tan(a)=BC/AC=\operatorname {sen} (a)/\cos(a)$

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90°) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45°) = 1

tan (π/3) = tan (60°)= ${\sqrt {3}}$

tan (π/6) = tan (30°) = ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Una identidad de importancia con la tangente es:

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$

Seno y Coseno, funciones complejas

El seno y coseno se define en matemática compleja , gracias a la fórmula de Euler como:

$cos(\alpha )={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}$

$sen(\alpha )={\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}$

Siendo $i={\sqrt {-1}}$ (representado también frecuentemente como j)

Véase también

• Tabla trigonométrica
• Función trigonométrica
• Identidad trigonométrica
• Funciones hiperbólicas
• Lista de integrales de funciones trigonométricas
• Fórmula de Euler y Número complejo, para funciones trigonométricas complejas
• Trigonometría esférica

Enlaces externos

• TRIGONOMETRÍA
• Álgebra y Trigonometría. Universidad de Chile
• Trigonometría
• Aula Virtual de Trigonometría
• Trigonometría. Precálculo21
• Orígenes de la trigonometría
• Matemática - Trigonometría
• Unidad Didáctica. Razones Trigonométricas
• Matemáticas(Trigonometrias)
• La Trigonometría, ¿Para qué sirve?
• Trigonometría

Bibliografía

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55. Editorial Nadal-Arcada S. L. (ed.). Trigonometría (1997) [Parte de obra completa: Vol. 21]. ISBN 978-84-7887-181-0. 
56. Vidal Juncosa, José. Editorial Nadal-Arcada S. L. [Parte de obra completa: T. 20], ed. Matemáticas, ESO [Obra Completa]. ISBN 978-84-7887-128-5. 
57. Editorial Nadal-Arcada S. L. (ed.). Trigonometría (1995) [Parte de obra completa: T. 20]. ISBN 978-84-7887-148-3.