Paralelismo (matemática)

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Dos rectas paralelas.
Planos paralelos.

En geometría el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual a 1 (rectas, planos, hiperplanos entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente[1][2]​ o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si, o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio dos planos son paralelos si, o bien son uno y el mismo plano, o bien no comparten ninguna recta.

Historia[editar]

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como Definición 23 en el Libro I de Elementos de Euclides.[3]​ Otras definiciones alternativas fueron discutidas por otros griegos, a menudo como parte de un intento de demostrar el postulado paralelo. Proclus atribuye una definición de las líneas paralelas como líneas equidistantes a Posidonio y cita a Gemio en una línea similar. Simplicio también menciona la definición de Posidonio así como su modificación por el filósofo Aganis.[3]

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, los Elementos de Euclides seguían siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado a cambiar por los nuevos desarrollos de la geometría proyectiva y la geometría no euclidiana, por lo que en esta época se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre sí como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las rectas paralelas.[4]​ Estos textos de reforma no estuvieron exentos de críticas y uno de ellos, Charles Dodgson (a. k.a. Lewis Carroll), escribió una obra, Euclides y sus modernos rivales, en la que se arremete contra estos textos.[5]

Uno de los primeros libros de texto de la reforma fue Geometría elemental de James Maurice Wilson, de 1868.[6]​ Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección. Según Wilhelm Killing[7]​ la idea puede remontarse a Leibniz.[8]​ Wilson, sin definir la dirección ya que es una primitiva, utiliza el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos rectas que se encuentran entre sí tienen direcciones diferentes, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellas." Wilson (1868, p. 2) En la definición 15 introduce las líneas paralelas de esta manera; "Las líneas rectas que tienen la misma dirección, pero no son partes de la misma línea recta, se llaman líneas paralelas." Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson la utilizó para demostrar cosas sobre las líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran sección de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento de Wilson de las paralelas. Wilson editó este concepto fuera de las ediciones tercera y superior de su texto.[9]

Otras propiedades, propuestas por otros reformadores, utilizadas como sustitutos de la definición de líneas paralelas, no salieron mucho mejor paradas. La principal dificultad, como señaló Dodgson, era que para utilizarlas de este modo era necesario añadir axiomas adicionales al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874 Geometría euclidiana adolece del problema de que hay que demostrar que los puntos que se encuentran a una distancia determinada en un lado de una línea recta forman una línea recta. Esto no puede demostrarse y debe suponerse que es cierto.[10]​ La propiedad de los ángulos correspondientes formados por una transversal, utilizada por W. D. Cooley en su texto de 1860, The Elements of Geometry, simplified and explained requiere una prueba del hecho de que si una transversal se encuentra con un par de líneas en ángulos correspondientes congruentes entonces todas las transversales deben hacerlo. De nuevo, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Rectas paralelas[editar]

Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando solo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad[editar]

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una paralela a dicha recta.

Propiedades[editar]

Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: que representamos del siguiente modo:

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

  • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
  • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

  • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas[editar]

  • En un plano dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
  • Si en un plano una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta.

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Extensión a la geometría no euclidiana[editar]

En la geometría no euclidiana, es más común hablar de geodésicas que de líneas (rectas). Una geodésica es el camino más corto entre dos puntos de una geometría determinada. En física puede interpretarse como el camino que sigue una partícula si no se le aplica ninguna fuerza. En la geometría no euclidiana (elíptica o geometría hiperbólica) las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y sólo la segunda (La línea m está en el mismo plano que la línea l pero no interseca a l) es útil en las geometrías no euclidianas, ya que no implica ninguna medida. En geometría general las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, curvas equidistantes, geodésicas paralelas y geodésicas que comparten una perpendicular común, respectivamente.

Geometría hiperbólica[editar]

Intersección, líneas paralelas y ultra paralelas que pasan por a con respecto a l en el plano hiperbólico. Las líneas paralelas parecen intersecar l justo fuera de la imagen. Esto es sólo un artefacto de la visualización. En un plano hiperbólico real las líneas se acercarán entre sí y se "encontrarán" en el infinito.

Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden cruzarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica existen tres posibilidades. Dos geodésicas que pertenecen al mismo plano pueden ser:

  1. intersecantes, si se cruzan en un punto común del plano,
  2. paralelas, si no se cruzan en el plano, pero convergen a un punto límite común en el infinito (punto ideal), o
  3. ultra paralelas, si no tienen un punto límite común en el infinito.

En la literatura las geodésicas ultra paralelas suelen llamarse no intersecantes. Las geodésicas que se intersecan en el infinito se denominan paralelas límite.

Como en la ilustración a través de un punto a que no está en la línea l hay dos paralelas límite, una por cada dirección punto ideal de la línea l. Separan las líneas que intersecan a la línea l y las que son ultra paralelas a la línea l.

Las rectas ultra paralelas tienen una única perpendicular común (teorema de la ultraparalela), y divergen a ambos lados de esta perpendicular común.

Geometría esférica o elíptica[editar]

En la esfera no existe la línea paralela. La línea a es un gran círculo, el equivalente a una línea recta en la geometría esférica. La línea c es equidistante a la línea a pero no es un gran círculo. Es un paralelo de latitud. La línea b es otra geodésica que interseca a a en dos puntos antípodas. Comparten dos perpendiculares comunes (una se muestra en azul).

En la geometría esférica, todas las geodésicas son grandes círculos. Los grandes círculos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los grandes círculos se cruzan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica dada, ya que todas las geodésicas se cruzan. Las curvas equidistantes en la esfera se llaman paralelos de latitud análogos a las líneas de latitud en un globo terráqueo. Los paralelos de latitud pueden ser generados por la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Llopis, José L. «Rectas paralelas y perpendiculares». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 17 de febrero de 2020. 
  2. Sapiña, R. «Paralelas y perpendiculares». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 17 de febrero de 2020. 
  3. a b Heath, 1956, pp. 190-194
  4. Richards, 1988, Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild. pp. 161-200
  5. Carroll, Lewis (2009), Euclides y sus modernos rivales, Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9 .
  6. Wilson, 1868
  7. Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, p. 5
  8. Heath, 1956, p. 194
  9. {harvnb|Richards|1988|loc=pp. 180-184}}
  10. Heath, 1956, p. 194

Bibliografía[editar]

  • Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] edición), New York: Dover Publications .
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
  • Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6 .
  • Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st edición), London: Macmillan and Co. .
  • Wylie, C. R. Jr. (1964), Foundations of Geometry, McGraw–Hill .