Ley potencial

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Un ejemplo gráfico de ley potencial, usado para demostrar el ranking de popularidad. A la derecha se encuentra la larga cola (muchos elementos individualmente poco populares), y a la izquierda los pocos elementos que son más populares.

Una ley potencial es un tipo especial de relación matemática entre dos cantidades. Estos dos cantidades pueden ser dos variables diferentes, tal como el metabolismo basal de una especie y su masa corporal (llamada ley de Kleiber), o el tamaño de una ciudad y el número de patentes que produce. También puede ser una variable y su propia frecuencia, muchas veces llamados leyes potenciales de rango-frecuencia. Aquí las frecuencias cambian según un exponente cuando la variable cambia. Por ejemplo, un terremoto de doble intensidad es cuatro veces más improbable. Las leyes potenciales se encuentran tanto en la naturaleza como en ámbitos artificiales, y son un campo de estudio activo por la comunidad científica.

Definición[editar]

Una relación en forma de ley potencial entre dos escalares x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

y = ax^k\,\!

donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) son constantes.

La ley potencial puede interpretarse como una línea recta en un gráfico doble-logarítmico, ya que la ecuación anterior se puede expresar

\log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!

la cual presenta la misma forma que la ecuación de una línea recta y = mx+c\,\!

Dado que ambos términos (al lado derecho y al lado izquierdo) son exponenciales, leyes potenciales muchas veces aparecen cuando haya dos procesos exponenciales[1]

Propiedades de leyes potenciales[editar]

Invariancia de escala[editar]

El principal interés de las leyes potenciales radica en su invariancia de escala. La función f(x) = ax^k (donde a y k son constantes), satisface la relación:

f(c x) = a(c x)^k = c^{k}f(x) \propto f(x),\!

para toda constante c. Esto es, al multiplicar el argumento x por c, únicamente estamos multiplicando la ley potencial original por la constante c^k. En este sentido, se dice que la función f(x) es invariante de escala. Esta propiedad hace que una ley potencial quede determinada por su exponente, formando las funciones con el mismo exponente una clase de equivalencia. La invariancia de escala de la ley de potencia permite realizar estadísticas sobre las diferentes escalas de observación, para estimar el exponente.[2]

Falta de promedio estable[editar]

Las leyes potenciales no tienen promedio bien definido sin un exponente que excede 2 y no tienen una varianza finita cuando el exponente no excede 3.[3] Esto se puede ver en el experimento mental siguiente:[4] imagínese una sala con sus amigos y estime el ingreso promedio mensual en la sala. Ahora imagine que la persona más rica del mundo entre en la sala, Carlos Slim, con un ingreso mensual de alrededor de mil millones de dólares (US$). ¿Qué sucede con el ingreso promedio en la sala? Ingresos se distribuyen según una ley de potencia conocida como la distribución de Pareto. Por un lado, esto hace que sea técnicamente incorrecto aplicar las estadísticas tradicionales basados en la varianza y desviación estándar (como el análisis de regresión). Por otra parte, este modo permite a las intervenciones costo-eficientes.[1] Por ejemplo, la emisión contaminante de autos se distribuye según una ley potencial (muy pocos coches contribuyen a la gran mayoría de la contaminación). Así sería suficiente de eliminar esos muy pocos coches de la carretera para reducir la la contaminación total sustancialmente[5]

Ejemplos[editar]

Estas expresiones potenciales pueden observarse en muchos campos, como la física, la biología, la geografía, la sociología, la economía y la lingüística.

Ejemplos de relaciones potenciales[editar]

Ejemplos de ley potencial[editar]

R(t) = at^{-b}\, \!

Estos casos parecen ajustar fenómenos tan dispares como la popularidad de una red en Internet, la riqueza de las personas (ley de Pareto) y la frecuencia de las palabras en un texto.

Referencias[editar]

  1. a b c "Hilbert, M. (2013), Scale-free power-laws as interaction between progress and diffusion.", Martin Hilbert (2013), Complexity (journal), doi: 10.1002/cplx.21485; free access to the article through this link: martinhilbert.net/Powerlaw_ProgressDiffusion_Hilbert.pdf
  2. Guerriero V.. «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr. (2012). http://www.sjmmf.org/paperinfo.aspx?ID=886. 
  3. Newman M. Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law. Contemporary Phys 2005, 46, 323
  4. 9.ª CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, http://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI
  5. Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; http://gladwell.com/million-dollar-murray/
  6. Bak, P., Tang, C. and Wiesenfeld, K. (1987). «Self-organized criticality: an explanation of 1/f noise». Physical Review Letters 59:  pp. 381–384. doi:10.1103/PhysRevLett.59.381. 
  7. S. Boccaletti et al., Complex Networks: Structure and Dynamics, Phys. Rep., 424 (2006), 175-308.
  8. Wickelgren, W. A. (1974). Single-trace fragility theory of memory dynamics. Mem. Cogn., 2:775–780.