Identidad de Euler

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Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

donde:

  • π (número pi) es un número irracional y trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
  • e (número de Euler) es la suma de la serie , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendente.
  • i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
  • 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Explicación[editar]

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de números negativos[editar]

El logaritmo natural de un número complejo z = a+bi (donde a y b son números reales) se define como:

Donde es:

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

Por ejemplo :

Y también se cumple:

.

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.


Se sabe que , pero también es cierto que o . De hecho en general:

El error que se puede cometer aquí, es que si , entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien , no es cierto que . De esta forma, se puede ver que:

.

Antes se mencionó que si se puede obtener con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si entonces a = ln(b).


Otro error es lo siguiente:

.

El error aquí ocurre en :. Esto último no es correcto y el motivo es que

.

Porque solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado , pero no es real, puesto que ln(-e) no es número real.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Weisstein, Eric W. «Euler Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource (en inglés). Consultado el 15 de mayo de 2009.