Fórmula de De Moivre

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La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 este último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención[editar]

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,

.

Algunos resultados[editar]

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

Si hacemos que entonces tenemos la identidad de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:

Demostración por inducción[editar]

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que , y (por convención) .


Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización[editar]

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

es una función multivaluada mientras

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

     es un valor de     .

Aplicaciones[editar]

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)

Potencia[editar]

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raíces[editar]

Para obtener las raíces de un número complejo, se aplica:

donde es un número entero que va desde hasta , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las raíces diferentes de .

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]