Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y
Ejemplo:
Cuadrado de un binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes:
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:
Adición de cubos:
Diferencia de cubos:
Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potenciasenésimas (o n - ésimas: xn).
Suma de potencias enésimas:
Si -sólo si-n es impar,
Diferencia de potencias enésimas:
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:
Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)