Cero

0
Cardinal		Cero
Ordinal
Factorización		N/A
Numeración romana
Sistema binario		0
Sistema hexadecimal		0

El cero (0) es el elemento del conjunto de los números enteros ($\mathbb {Z}$) que sigue al -1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ($\mathbb {N}$) ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene cero elementos. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): $X-X=0$.

Representación de 0

• Numeración maya: , la Cultura maya, la primera en emplear el cero.
• Numeración romana: No existe ningún símbolo en la numeración romana que represente el 0.
• Numeración jónica: ο (una ómicron)
• Numeración china: 〇 ó 零
• Numeración egipcia:
• Numeración griega: O
• Numeración armenia: No existe
• Numeración cirílica: No existe
• Numeración colombiana: Archivo:0 colombiano.svg
• Numeración de la Cultura de los Campos de Urnas: (un espacio)

Historia

El cero apareció por primera vez en Babilonia, como puede comprobarse en las tablillas de arcilla que se remontan al año 2000 a. C. En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700  a. C.).

Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma; este sistema no se parecía al actual de base 10, pues los babilonios utilizaban un sistema en base 60 y con esa notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003. Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar símbolos de dos cuñas en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que en realidad se leía 2”3 (dos, varios, tres). Esta ambigüedad no pareció preocupar a los babilonios.

Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones de vacío o cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, se lee una notación de tres ganchos. Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas se usa un solo gancho y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja un cero tal como lo conocemos hoy.

Jeroglífico maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero autónomo como se conoce hoy en día.

El cero tal como lo conocemos nosotros surgió en Mesoamérica y fue creado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la Civilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya.​

Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., ya usaba el valor de «vacío» o «0» en conjunción del sistema babilónico. Ptolomeo solía usar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos concluir equivocadamente que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de puntuación. Este uso no fue extendido y pocos se sumaron a él, desvaneciéndose en la Historia.

Algunos siglos después el cero apareció también en la India, bajo el Imperio Gupta. Alrededor del año 650 el cero ingresa a la Matemática india. Los indios usaban el cero para denotar un lugar vacío. Algunas evidencias dan cuenta de un parámetro de lugar vacío en números con valor posicional desde el 200 en India, pero varios historiadores rechazan esta teoría tratándolas como falsificaciones.^{[cita requerida]}

En el año 500, Aryabhata crea un sistema numérico que no tenía cero y era un simple sistema posicional. Se usó la palabra kha para la posición cero y posteriormente el mismo cero adoptaría ese nombre. En ocasiones se usaba un punto en los primeros manuscritos indios para mostrar un espacio vacío en notación posicional. Pero muchos historiadores objetan estas fuentes como reales del cero al comprobarse que el punto también se usaba para mostrar algo desconocido, lo que usualmente sería una "x" para la Matemática moderna.^{[cita requerida]}

El primer registro cierto del uso del cero indio está datado en el año 876. Esta datación es la única en la que hay acuerdo. Los hindúes lo utilizaron como cifra en el siglo X (900 d. C.), pero fueron los árabes quienes lo introdujeron en Europa.

Los romanos no tenían ceros; sus números eran letras de su alfabeto en mayúsculas y para las cantidades grandes se empleaban letras de alto valor como M, D, C. Para números con valores iguales o superiores a 4000, se colocaba una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación era por 1000.

El primer matemático importante que hizo uso del signo «0», hacia el año 810 de nuestra era, fue el árabe Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, cuyos escritos han llegado hasta nuestros días.

El cero fue introducido en Europa por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XII, aunque las autoridades lo encontraron tan sospechoso que el Gobierno de Florencia prohibió su utilización en 1299.

La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (صفر), a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr.

Matemática

El cero se representa en matemáticas con el símbolo «0». En el conjunto de los enteros $\mathbb {Z}$ el 0 es un número par.​ Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e.​ Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler,

$e^{i\pi }+1=0\;$

Cero en la suma

En la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número a sumado con 0 vuelve a dar a. Ejemplo: 25 + 0 = 25

Cero en la multiplicación

En el producto, el cero es el elemento absorbente; cualquier número operado con 0 da 0. Ejemplo: 25 × 0 = 0

Cero en la división

Entre las controversias que existen sobre el cero, una de ellas es sobre la posibilidad de dividir por él; hasta llega a dudarse sobre si el cero puede dividir a otro número. Acrecienta la confusión cuando se analiza la división por cero en el contexto de los límites y en el contexto de los números enteros. El problema es que se utiliza la mismas palabra, división, para referirse a distintas cosas (aunque en el fondo tengan el mismo origen). Es así como son ciertas las afirmaciones: "0:0 no está definido" , "0/0 es indeterminado" y "0|0 (cero divide a cero)", pero cada una en su contexto. A continuación exponemos brevemente estos ejemplos.

Cero dividido por otro número

El 0 dividido por cualquier número, salvo el 0, es 0. Ejemplo: 0 ÷ 8 = 0.

Intuitivamente significa que, si dividimos nada entre ocho personas, a cada una le corresponderá exactamente nada.

División por cero en los números reales

En los números reales (incluso en los complejos) la división por cero da un valor indeterminado; así, las expresiones 8:0 o 0:0 carecen de sentido.

Intuitivamente significa que no tiene sentido dividir 8 entre ninguna persona. Tampoco tiene sentido dividir nada entre nadie. Pero esto es una idea intuitiva, y sólo desde el sentido común se da respuesta a estas cuestiones.

Matemáticamente está claro que: el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo.

Ejemplo:

${\frac {x}{2}}=x.{\frac {1}{2}}$ (correcto)

${\frac {x}{0}}=x.{\frac {1}{0}}$ (incorrecto porque ${\frac {1}{0}}$ no es un número real)

Cero en la división de límites

En el análisis matemático existen definiciones de distintos tipos de límites. Por ejemplo:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t+1}{t}}$,

es el resultado al que nos aproximamos si comenzamos a hacer las divisiones: 4/3, 3/2, 2/1, 1.1/0.1 1.01/0.01, ... , (t+1)/t ... Nótese que estas divisiones son aproximadamente 1.333, 1.5, 2, 11, 101, 1001,... respectivamente. Claramente su «límite inferior» tiende a uno.

Es así como:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty$,

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1$,

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0$,

Sin embargo, si analizamos cada numerador y denominador por separado, el límite de todo ellos es cero. Es por eso que se dice que 0/0 (suele pronunciarse "cero sobre cero") es indeterminado, pues puede ser cosas tan diferentes como infinito, uno o cero.

Cero en la división de números enteros

Si nos restringimos a los números enteros, $\mathbb {Z}$, decimos que $a$ divide a $b$ si existe otro número $c$ (también entero) tal que $a*c=b$

Por ejemplo: 3 es divisor de 15 pues 3 * 5 = 15.

Vemos que la definición no requiere saber dividir, sólo saber multiplicar, y esto es muy conveniente pues entre los números enteros la división no siempre tiene sentido; por ejemplo, 2 dividido entre 3 no tiene ninguna solución en el conjunto de los números enteros.

Así, 3 no divide a 10 porque no existe ningún número entero $c$ tal que $3c=10$.

Análogamente, 0 no divide a 10 porque al multiplicar cero por cualquier otro número nunca obtendremos 10.

Análogamente, tenemos que 0 es divisor de 0, pues 0 * 0 = 0. Aún más:

todo número entero $a$ es divisor de cero pues $a*0=0$

También vemos que cero es divisor sólo del propio cero. Este hecho no se contradice con el hecho de que 0:0 no esta permitido pues véase que en el caso 0:0, el signo de división significa una operación. En cambio, en la división entra no hay ninguna operación involucrada y todo se basa en la definición dada anteriormente.

Cero en la potenciación

• Si $a$ es distinto de 0, entonces $a^{0}=1$

• Si $n$ es distinto de 0, entonces $0^{n}=0$

Cuando se pretende calcular $0^{0}$ nos enfrentamos ante un aparente dilema. En general, los matemáticos están de acuerdo en que esa operación no está definida. Sin embargo las calculadoras científicas en general y programas de matemática superior lo toman como 1. Como en el caso de la división, al poner esta operación en el contexto de los límites, $0^{0}$ es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa. En logica formal se puede probar que $0^{0}=1$ , esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía.

Paridad y otras características

Todos los números enteros pueden ser clasificados en pares e impares, definiendo los números de la forma $2n$ como pares y los de la forma $2n+1$ como impares, con $n\in \mathbb {Z}$. Como $0\in \mathbb {Z}$ entonces podemos tomar $n=0$ con lo que $2n=2(0)=0$ resulta par.

El cero no se incluía en el conjunto de los números naturales $\mathbb {N}$, por convenio. Y se representaba como $\mathbb {N} _{0}$, al conjunto de los números naturales cuando incluye al cero, por ello nos podemos encontrar con muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. De hecho, aún no hay consenso al respecto aunque muchos otros lo incluyan. Es apenas una cuestión de nomenclatura.

A algunos matemáticos les resulta conveniente tratarlo como a los otros números naturales y a otros no, por eso la discrepancia. Desde un punto de vista histórico el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlo natural. Incluso a quienes afirman desde un punto de vista metafísico que el cero no existe, y así agregan más razones para no llamarlo «natural».

Matemática avanzada

En otra ramas de la matemática, especialmente en el álgebra, se llama «cero» y se simboliza también con «0» a elementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectores del plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano.

Sistemas digitales

El 0 se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.

Cero absoluto

El cero absoluto es, en el campo de la física, la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia. Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en grados celsius es de –273,15°C.

Enlaces externos

• Historia de las Matemáticas: El Cero
• Zero en Wolfram MathWorld (en inglés)

Véase también

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