Límite matemático

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En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en ana.

Límite de una sucesión[editar]

La sucesión  a_{n} = 2^{(4-n)} para \scriptstyle n \in \mathbb{N}_0 converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a \infty.

Formalmente, se dice que la sucesión a_n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

\lim_{n\to\infty}a_n = L

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

a_n \to L \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0, \exists N>0 : \forall n > N, |a_n - L|<\varepsilon

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función[editar]

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

 \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:


   \begin{array}{l}
      \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
   \end{array}

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

\lim_{n\to \infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to \infty} f(x_n) = f(c)

Límites laterales[editar]

Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:

 L^+(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c+1/n)

Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:

 L^-(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c-1/n)

para una función continua en c se tiene que L^+(c) = L^-(c).

Límite de una sucesión de conjuntos[editar]

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera A_n, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) \le
\lim_{n\rightarrow\infty}A_n \le
\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcap_{n=1}^\infty} \left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n < \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n

Límite en espacios topológicos[editar]

Redes[editar]

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea (X,T) un espacio topológico y (x_d)_{d \in D} una red en X. Se dice que x \in X es un punto límite de la red (x \in \lim_{d \in D} x_d) si la red está eventualmente en cada entorno de x, es decir, si cualquiera que sea el entorno V de x (esto es, cualquiera que sea el conjunto V de forma que exista un abierto G tal que x \in G \subset V) existe un d_0 \in D de tal forma que para cada d \in D con d_0 \sim d se cumple que x_d \in V.

Filtros[editar]

En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como Bx o \lim \mathcal{B} = x, si para todo entorno U de x, existe un B0B tal que B0U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.[1] [2]

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a éstas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: XY es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

\lim_\mathcal{B} f = y

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.[1]

Límite de Banach[editar]

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo \phi: \ell_\infty \to \mathbb{R} definido sobre el espacio de Banach \ell_\infty para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si x_n es una sucesión convergente, entonces \phi(x)=\lim_n x_n, generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, \phi es una extensión del funcional continuo \lim: c\mapsto \mathbb C.[3]

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.[3]

Límites en teoría de categorías[editar]

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Bourbaki, Nicolas (1998) (en inglés). General Topology: Chapters 1-4 (reimpresa edición). Springer. pp. 68-73. ISBN 3540642412. 
  2. Sharma, J. N. (2010) (en inglés). Krishna's Topology: (For Honours and Post Graduate Students of All Indian Universities) (37 edición). Krishna Prakashan Media. pp. 449. 
  3. a b Banach Limit en PlanetMath

Bibliografía[editar]

  • Apostol, Tom M. (1960). Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior. Reverté. ISBN 84-291-5000-5. 
  • Rey Pastor, Julio (1985). Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9. 
  • Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al análisis matemático. Limusa. ISBN 968-18-0997-1. 

Enlaces externos[editar]