Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}$

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de todos los valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple; y se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

$x=5\,$

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.

Definición general

Dada una aplicación $f:A\rightarrow B$ y un elemento $b$ del conjunto $B$, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos $x\in A$ que verifican la expresion: $\displaystyle f(x)=b$. Al elemento $\textstyle x$ se le llama incognita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento $\textstyle a\in A$ que verifique $\textstyle f(a)=b$.

El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto $\textstyle A$ son funciones y la aplicación $\textstyle f$ debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.

La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma $\textstyle g(x)=h(x)$, pues, si $\textstyle B$ es un grupo basta con definir la aplicación $\textstyle f(x)=g(x)-h(x)$ y la ecuación se transforma en $\textstyle f(x)=0$.

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación $\displaystyle f(x)=b$, el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por $\textstyle S=f^{-1}(b)$ , donde $\textstyle f^{-1}$ es la imagen inversa de $\textstyle f$. Si $\textstyle S$ es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: $\textstyle S$ puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si $\textstyle S$ tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.

En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso $\textstyle A\subseteq \mathbb {Z}$. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando $\textstyle A$ es un cuerpo y $f$ un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.

En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto $\textstyle A$ es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.

Ecuación polinomial

Una ecuación polinomial o polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

$x^{3}y+4x-y=5-2xy\,\!$

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

$x^{3}y+2xy+4x-y-5=0\,\!$

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

$2x^{3}-5x^{2}+4x+9=0\,\!$

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

$ax+b=0\,$

con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: $\,x=-b/a$

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:

$9x-9+108x-6x-92=16x+28+396\,$

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

$9x+108x-6x-16x=28+396+9+92\,$

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: $\,9x+108x-6x-16x=(9+108-6-16)x=95x$

Y simplificamos el segundo miembro: $\,28+396+9+92=525$

La ecuación simplificada será:

$95x=525\,$

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.

En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

$x=525/95\,$

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

$x=105/19\,$

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:

$x+3=2x-2\,$

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?

La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

$x-2x=-2-3\,$

Que, simplificado, resulta:

$-x=-5\,$

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

$x=5\,$

El problema está resuelto.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, aunque a veces ambas pueden coincidir entre sí. Para su resolución tenemos que distinguir entre tres situaciones distintas:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0

Son un caso particular de ecuaciones de segundo grado en las que no existe el término lineal o término en x, lo que les confiere su principal característica algebraica: el coeficiente b es nulo (b = 0). Esto hace que sea un tipo de ecuaciones muy sencillas de resolver mediante un método similar a las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

$x^{2}-16=0\,$

Donde a = 1 y c = −16. Pasamos entonces −16 al segundo miembro:

$x^{2}=16\,$

Ahora pasamos el exponente 2, o cuadrado, al segundo miembro, convirtiéndolo en la operación opuesta, raíz cuadrada:

$x=\pm {\sqrt {1}}6\,$

$x_{1}=4\,$

$x_{2}=-4\,$

La ecuación ya está resuelta.

Nota: si −c/a fuera un número real negativo (cosa que no ocurre en este caso, donde es −c/a = 4) las raíces de la ecuación serían imaginarias y pertenecerían al campo de los números complejos.

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Son otro caso particular de ecuaciones de segundo grado, en las que no existe el término independiente. En ellas todos los términos dependen de la variable incógnita o, coloquialmente, tienen x, lo que les confiere también una característica algebraica: el coeficiente c es nulo (c = 0). Tengamos:

$3x^{2}+9x=0\,$

Donde a = 3 y b = 9. En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambos términos:

$x(3x+9)=0\,$

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los dos factores tiene que ser igual a 0. Así es que, o el primer factor (x) es igual a cero (lo que constituye una de las soluciones), o lo es el segundo:

$3x+9=0\,$

$3x=-9\,$

$x={\frac {-9}{3}}=-3\,$

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y −3.

$x_{1}=0\,$

$x_{2}=-3\,$

Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0

Son el caso más general de ecuaciones de segundo grado, en el que existen los tres términos: cuadrático, lineal e independiente. Los tres coeficientes a, b y c serán entonces no nulos o distintos de cero.

Si tenemos la ecuación cuadrática: $x^{2}+5x+6=0\,$

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

Si sustituimos las letras por los números, siendo:

a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.

b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.

c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).

$x={\frac {-5\pm {\sqrt {25-24}}}{2}}={\frac {-5\pm 1}{2}}$

A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3

Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números complejos.

Otro método

También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:

Si hallamos dos números m y n tales que al sumarlos y multiplicarlos entre sí resulten coincidir respectivamente con −b y c, entonces la expresión:

$x^{2}+bx+c\,$

será equivalente a:

$(x-m)(x-n)\,$

siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.

En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6.

luego, la igualdad:

$x^{2}+5x+6=0\,$

es equivalente a:

$(x+2)(x+3)=0\,$

Demostración

Partiendo de la igualdad: $(x-m)(x-n)=0\,$

operando, obtenemos: $x^{2}-(m+n)x+(mn)=0\,$

Luego, para a = 1, resulta:

$b=-(m+n)\,$

$c=(mn)\,$

m y n son por lo tanto dos números cuya suma resulta igual a −b, y cuyo producto coincide con c.

Tipos de ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.

Véase también

• Ecuación lineal
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuaciones con radicales
• Ecuación química
• Sistema de ecuaciones
• Álgebra elemental
• Teorema fundamental del álgebra

Enlaces externos

• Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones de segundo grado
• La ecuación de primer grado, en descartes.cnice.mec.es