Variable aleatoria

En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.​​

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos R_X, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

$R_{X}=\{x\in \mathbb {R} /\exists \,\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}$

Definicion formal de variable aleatoria

La definición formal de variable aleatoria requiere ciertos conocimientos profundos de matemática (en concreto de teoría de la medida). Es la siguiente:​​

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ y un espacio medible (también denominado a veces espacio de Borel) $(S,\Sigma )$, una aplicación $X:\Omega \longrightarrow S$ es una variable aleatoria si es una aplicación ${\mathcal {A}},\Sigma$-medible.

En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de $\mathbb {R}$), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ una variable aleatoria real es cualquier función ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$-medible donde ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ es la σ-algebra boreliana.

Ejemplo

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

Ω = {cc, cx, xc, xx},

donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

dada por

$cc\to 2$

$cx,xc\to 1$

$xx\to 0$

El recorrido o rango de esta función, R_X, es el conjunto

$R_{X}$ = {0, 1, 2}

Tipos de variables aleatorias

Para comprender de una manera mas amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.​

• Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las distribuciones de variable discreta).

• Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.​ (véanse las distribuciones de variable continua)

• Variable aleatoria independiente: Supongamos que "X" y "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = y son variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y). De manera equivalente: f(x,y) = f1(x)f2(y). :Inversamente, si para todo "x" e "y" la funcion de probabilidad conjunta f(x,y) puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" sola y como una función dc y solo (las cuales son entonces funciones de probabilidad marginal de "X" e "Y" ), "X" e "Y" son independientes. Sin embargo, si f(x,y),no puede exprarsarse de tal manera, entonces "X" e "Y" son independientes.

Si "X" e "Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables aleatorias independientes si los eventos "X" es menor o igual que "x", e "Y" es menor o igual que "y" y son eventos independientes para todo "x" e "y" .

De manera equivalente: F(x,y) = F1(x)F2(y), donde F1(X) y F2(y) son las funciones de distribución (marginal) de "X" e "Y" respectivamente. Inversamente, "X" e "Y" son variables aleatorias independientes si para todo "x" e "y", su función de distribución conjunta F(x,y) puede expresarse como el producto de la función "x" sola y de la funcíon "y" solo (las cuales son las distribuciones marginales de "X" e "Y", respectivamente). Sin embargo, si F(x,y) no puede expresarse de tal manera, entonces "X" e "Y" son independientes.

Para variables aleatorias independientes continuas, también es cierto que la función de densidad conjunta f(x,y)es el producto de la distribución de "x" sola f1(x) y una función de "y" sola f2(y), y éstas son las funciones de densidad(marginal) de "X" e "Y" respectivamente.

Distribución de probabilidad de una v.a.

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función $F_{X}(x)$, que asigna a cada evento definido sobre $X$ una probabilidad dada por la siguiente expresión:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

1. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ y $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Función de densidad de una v.a. continua

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

Parámetros de una v.a.

La función de densidad o la distribución de probabilidad de una v.a. contiene exhaustivamente toda la información sobre la variable. Sin embargo resulta conveniente resumir sus características principales con unos cuantos valores numéricos. Estos son, fundamentalmente la esperanza y la varianza.

Esperanza

La esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una v.a. es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\,\!$ y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad $p(x_{i})$ la esperanza se calcula como:

$E[X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})\,\!$

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad $f(x)\,\!$:

$E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,\!$

o $\operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P\,\!$

La esperanza también se suele simbolizar con $\mu =E[X]\,\!$

El concepto de esperanza se asocia comúnmente en los juegos de azar al de beneficio medio o beneficio esperado a largo plazo.

Varianza

La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria $X\,\!$ respecto a su esperanza $E[X]\,\!$. Se define como la esperanza de la transformación $\left(X-E[X]\right)^{2}\,\!$: esto es,

$V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right]\,\!$

Está relacionada con la desviación estándar o desviación típica, que se suele denotar por la letra griega σ (sigma) y que es la raíz cuadrada de la varianza,

$\sigma ={\sqrt {V(X)}}\,\!$ o bien $\sigma ^{2}=V(X)\,\!$

Véase también

• Distribución de probabilidad.
• Distribución binomial.
• Distribución normal.
• Esperanza matemática.
• Varianza.

Bibliografía

• Peña Sánchez de Rivera, Daniel (2008). Fundamentos de Estadística (1ª edición). Alianza Editorial. p. 688. ISBN 9788420683805. 
• Ropero Moriones, Eva (2009). Manual de estadística empresarial (1ª edición). Delta Publicaciones. p. 200. ISBN 9788492453214. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Variable aleatoria.