Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.

Definiciones

• La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." ​
• Es el conjunto de los números enteros no negativos.
• Un número es un símbolo que indica una cantidad

. El conjunto de los números naturales se representa por $\scriptstyle \mathbb {N}$ y corresponde al siguiente conjunto numérico:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,6,7,\dots \}$

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a $\scriptstyle \mathbb {N}$.

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Definiciones axiomáticas

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:

1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto $x$ se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada $y\in x$, $y\subseteq x$
2. La relación $\in _{x}=\left\{\left(a,b\right)\in x\times x\mid a\in b\right\}$ es un orden total estricto en $x$
3. Todo subconjunto no vacío de $x$ tiene elementos mínimo y máximo en el orden $\in _{x}$

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que $\emptyset$ no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por $0$ y que cada número natural $n$ tiene un sucesor denotado como $n^{+}$. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

$0=\emptyset$

$n^{+}=n\cup \{n\}$

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

• Por definición $0=\{\}$ (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces $1=0^{+}=\emptyset \cup \{0\}=\{0\}$
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces $2=1^{+}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}$
• y en general

$3=\{0,1,2\}\,$

$4=\{0,1,2,3\}\,$

$5=\{0,1,2,3,4\}\,$

$\vdots$

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

$a\leq b\iff a\subseteq b$

es decir que un número $a$ es menor o igual que $b$ si y sólo si $b$ contiene a todos los elementos de $a$.

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así $a<b\,$ si y sólo si $a\in b$.

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si $A$ es un conjunto inductivo, entonces $\mathbb {N} \subseteq A$. Esto significa que, en efecto, $\mathbb {N}$ es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

$a+0=a\,$

$a+b^{+}=(a+b)^{+}\,$

Lo que convierte a los números naturales $(\mathbb {N} ,+)$ en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

$a\times 0=0$

$a\times b^{+}=(a\times b)+a$

Esto convierte $(\mathbb {N} ,\times )$ (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de $\mathbb {N}$ es la siguiente: Sea $\mathbb {F}$ la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈$\mathbb {F}$ se dice que A R B $\Leftrightarrow$ Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe $f\colon A\to B\,$ biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente $\mathbb {F} /R\ =\{[A]/A\in \mathbb {F} \}$los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que $(\mathbb {N} ,+,\times )$ sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales de lectura simbólica, que se pueden realizar con un determinado conjunto numérico. los conjuntos númericos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichos conjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos, Si la operación su resultado siempre da elementos del conjunto numérico se dice que el espacio es cerrado para dicha operación, si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces no, se dice que el espacio es abierto para dicha operación.

De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma (operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta deconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada, constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doble naturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación cuyo resultado es potencia (operación cerrada, constructora de objetos geométricos "perfectos"), radicación cuyo resultado es raiz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y la logaritmación (operación abierta, de posibles propiedades dimensionales de los objetos geometricos).

Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras, deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. es así como se puede decir que:

La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de la multiplicaciones, es decir,

si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción o resta deconstruye el segmento de recta.

No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número al que se le resta el otro, es mayor.

Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado, -15, no está dentro del conjunto de los números naturales.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:

• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a y a×b = b×a (propiedad conmutativa)
• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agruparlos de ninguna manera específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

La suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva, ya que

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c).$

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden $\leq$ se puede redefinir así: $a\leq b$ si y sólo si existe otro número natural $c$ que cumple $a+c=b$. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si $a$, $b$ y $c$ son números naturales y $a\leq b$, entonces se cumple:

$a+c\leq b+c$

$a\times c\leq b\times c$

Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de $\mathbb {N}$ por cardinales se tiene que $a\leq b$ si dados dos representantes $A$ y $B$ de $a$ y $b$ respectivamente existe una aplicación $f\colon A\to B\,$ inyectiva.Se demuestra fácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes $A$ y $B$ elegidos.

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquier subconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al de los números naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por $\leq$ y cumple:

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimo

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que

$a=(b\times q)+r$    y    $r<b$.

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturales

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de [cardinal]. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

Referencias

Bibliografía

• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 970-32-1392-8. 

Véase también

Clasificación de los números Complejos $:\;\mathbb {C}$ Reales $:\;\mathbb {R}$ Racionales $:\;\mathbb {Q}$ Enteros $:\;\mathbb {Z}$ Naturales $:\;\mathbb {N}$ Uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios