Bicondicional

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Bicondicional
Diagrama de Venn 18.svg
Diagrama de Venn de
Nomenclatura
Lenguaje formal A es equivalente a B,
si y sólo si
Operador booleano ↔ ⇔ ≡
Operador de conjuntos
Tabla de la Verdad

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi), es una proposición de la forma «P si y solo si Q» y es verdadero en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad. En otras palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.

Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce con el nombre de coimplicación.[1]

En Lógica es usual la notación , mientras que en matemáticas es más común la notación para denotar la equivalencia entre dos enunciados.

Ejemplos:

  • « » y « » son bicondicionales verdaderos.
  • , donde denota a los múltiplos enteros de n.

Definición[editar]

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

.

De manera más precisa, el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad:[2][3]

si y solo si
p q
pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Representación y lectura[editar]

Normalmente se usan los símbolos ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:

o .

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

Dos enunciados se dicen equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad, y se simboliza con ≡.[4]​ Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes su conexión con un bicondicional una tautología.[5]

Adicionalmente, el bicondicional es equivalente a la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Ejemplos[editar]

Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si tiene el carné de conductor.

O bien,

Una persona es mayor de edad si y sólo si tiene el carné de conductor.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible tener el carné de conducir siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carné, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.[6]

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carné de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carné de conducir.[7]

Referencias[editar]

  1. D. Hilbert y A. Ackermann «Elementos de lógica teórica» Editorial Tecnos, Madrid, ISBN 84-309-0581-2
  2. Trelles Montero, Oscar; Rosales Papa, Diógenes (2000). «Bicondicional». Introducción a la Lógica. Perú: Fondo Editorial PUCP. pp. 68 y siguientes. ISBN 9972-42-182-1. 
  3. Korfhage, Robert R.: "Lógica y Algoritmos", (1970) Editorial Limusa -Wiley, S.A. México 1, D.F. p. 60
  4. Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000) ISBN 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45
  5. Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : Principia Mathematica (Hasta el *56) (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60
  6. Se refiere a un contexto legal que puede variar de un país a otro.
  7. No hay bicondicionales «correctos» o «incorrectos», si nos atenemos al introito del artículo.