Bicondicional

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Bicondicional
Diagrama de Venn 18.svg
Diagrama de Venn de
Nomenclatura
Lenguaje formal A es equivalente a B,
si y sólo si
Operador booleano ↔ ⇔ ≡
Operador de conjuntos
Tabla de la Verdad

En algunos contextos en matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi) es un operador lógico binario, es decir, una función , siendo B cualquier conjunto con |B|=2, aunque es común que se considere a B como B={V,F} o B={0,1}. El bicondicional también funge como conectivo lógico, permitiendo formular expresiones de la forma «P si y solo si Q», que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad. En otro contexto el bicondicional representa la equivalencia lógica entre dos proposiciones.

Definición[editar]

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

.

De manera más precisa, el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad:[1][2]

si y solo si
p q
pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Representación y lectura[editar]

Una forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce con el nombre de coimplicación.[3]

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

En Lógica y en matemáticas los simbolos empleados para denotar el bicondicional son , y ≡. La notacion se utiliza frecuentemente como un conectivo u operador lógico, que permite combinar dos proposiciones mas simples para generar una proposición compuesta de la forma , mientras que la segunda y tercera notación se emplean casi siempre para denotar la relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones lógicas. El significado de cada notación depende fuertemente del contexto en que se utilicen.[4][5]

Adicionalmente, en el ambito de la logica digital, el funcionamiento del operador bicondicional puede emularse mediante la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Ejemplos[editar]

  • « » y « » son bicondicionales verdaderos.
  • , donde denota a los múltiplos enteros de n.

Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si posee legalmente el carné de conductor.

O bien,

Una persona es mayor de edad si y sólo si posee legalmente el carné de conductor.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible poseer legalmente el carné de conducir siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carné, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.[6]

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carné de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carné de conducir.[7]

Referencias[editar]

  1. Trelles Montero, Oscar; Rosales Papa, Diógenes (2000). «Bicondicional». Introducción a la Lógica. Perú: Fondo Editorial PUCP. pp. 68 y siguientes. ISBN 9972-42-182-1. 
  2. Korfhage, Robert R.: "Lógica y Algoritmos", (1970) Editorial Limusa -Wiley, S.A. México 1, D.F. p. 60
  3. D. Hilbert y A. Ackermann «Elementos de lógica teórica» Editorial Tecnos, Madrid, ISBN 84-309-0581-2
  4. Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000) ISBN 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45
  5. Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : Principia Mathematica (Hasta el *56) (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60
  6. Se refiere a un contexto legal que puede variar de un país a otro.
  7. No hay bicondicionales «correctos» o «incorrectos», si nos atenemos al introito del artículo.