Cónica esférica
En matemáticas, una cónica esférica o esferocónica es una curva sobre una esfera, resultado de la intersección de la esfera con una cuádrica concéntrica. Es el análogo esférico de un sección cónica (elipse, parábola o hipérbola) en el plano y, como en el caso plano, una cónica esférica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia ortodrómica a dos focos es constante.[1] Al llevar el punto antípoda a un foco, cada elipse esférica es también una hipérbola esférica, y viceversa. Como curva espacial, una cónica esférica es una cuártica, aunque sus proyecciones ortogonales según los tres ejes principales son cónicas planas. Al igual que las cónicas planas, las cónicas esféricas también satisfacen una propiedad de reflexión: los arcos de círculo máximo desde los dos focos hasta cualquier punto de la cónica tienen la tangente y la normal a la cónica en ese punto como bisectrices de su ángulo.
Muchos teoremas sobre las cónicas en el plano se extienden a las cónicas esféricas. Por ejemplo, el teorema de Graves y el teorema de Ivory sobre las cónicas confocales también se pueden demostrar en la esfera (consúltese secciones cónicas confocales sobre las versiones planas).[2]
Así como longitud de arco de una elipse viene dada por una integral elíptica incompleta de segundo tipo, la longitud del arco de una cónica esférica viene dada por una integral elíptica incompleta de tercer tipo.[3]
Un sistema de coordenadas ortogonales en el espacio euclídeo basado en esferas concéntricas y conos cuadráticos se denomina cónico o sistema de coordenadas esferocónico. Cuando se restringen a la superficie de una esfera, las coordenadas restantes son cónicas esféricas confocales. A veces esto se denomina sistema de coordenadas elíptico en la esfera, por analogía con las coordenadas elípticas en el plano. Estas coordenadas se pueden utilizar en el cálculo de mapas conformes de la esfera sobre el plano.[4]
Aplicaciones
[editar]La solución del problema de Kepler en un espacio de curvatura positiva uniforme es una cónica esférica, con un potencial proporcional a la cotangente de la distancia geodésica.[5]
Debido a que preserva las distancias a un par de puntos específicos, la proyección equidistante de dos puntos asigna la familia de cónicas confocales en la esfera a dos familias de elipses e hipérbolas confocales en el plano.[6]
Si una porción de la Tierra se modela como esférica, como se hace por ejemplo al usar la esfera osculadora en un punto de un elipsoide de revolución, las hipérbolas utilizadas en la navegación hiperbólica (que determina la posición en función de la diferencia en la sincronización de la señal recibida de los transmisores de radio fijos) son cónicas esféricas.[7]
Referencias
[editar]- ↑ Fuss, Nicolas (1788). «De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae» [On certain properties of ellipses described on a spherical surface]. Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (en latín) 3: 90-99.
- ↑ Stachel, Hellmuth; Wallner, Johannes (2004). «Ivory's theorem in hyperbolic spaces». Siberian Mathematical Journal 45 (4): 785-794.
- ↑
Gudermann, Christoph (1835). «Integralia elliptica tertiae speciei reducendi methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sectionum conico–sphaericarum qudratura et rectification» [A simpler method of reducing elliptic integrals of the third kind, providing easy application and convenient numerical computation: Quadrature and rectification of conico-spherical sections]. Crelle's Journal 14: 169-181.
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Higgs, Peter W. (1979). «Dynamical symmetries in a spherical geometry I». Journal of Physics A: Mathematical and General 12 (3): 309-323. doi:10.1088/0305-4470/12/3/006.
Kozlov, Valery Vasilevich; Harin, Alexander O. (1992). «Kepler's problem in constant curvature spaces». Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 54 (4): 393-399. doi:10.1007/BF00049149.
Cariñena, José F.; Rañada, Manuel F.; Santander, Mariano (2005). «Central potentials on spaces of constant curvature: The Kepler problem on the two-dimensional sphere S2 and the hyperbolic plane H2». Journal of Mathematical Physics 46 (5): 052702. arXiv:math-ph/0504016. doi:10.1063/1.1893214.
Arnold, Vladimir; Kozlov, Valery Vasilevich; Neishtadt, Anatoly I. (2007). Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. doi:10.1007/978-3-540-48926-9.
Diacu, Florin (2013). «The curved N-body problem: risks and rewards». Mathematical Intelligencer 35 (3): 24-33. - ↑ Cox, Jacques-François (1946). «The doubly equidistant projection». Bulletin Géodésique 2 (1): 74-76. doi:10.1007/bf02521618.
Bibliografía
[editar]- Chasles, Michel (1831). Mémoire de géométrie sur les propriétés générales des coniqes sphériques [Geometrical memoir on the general properties of spherical conics] (en francés). L'Académie de Bruxelles. edición en inglés:
— (1841). Two geometrical memoirs on the general properties of cones of the second degree, and on the spherical conics (Charles Graves, trad.). Grant and Bolton. - Chasles, Michel (1860). «Résumé d'une théorie des coniques sphériques homofocales» [Summary of a theory of confocal spherical conics]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (en francés) 50: 623-633. Republicado en Journal de mathématiques pures et appliquées. Ser. 2. 5: 425-454. PDF de mathdoc.fr.
- Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016). «10.1 Spherical conics». The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments. Springer. pp. 436-467. doi:10.1007/978-3-662-45450-3_10.
- Izmestiev, Ivan (2019). «Spherical and hyperbolic conics». Eighteen Essays in Non-Euclidean Geometry. European Mathematical Society. pp. 262-320. doi:10.4171/196-1/15.
- Salmon, George (1927). «X. Cones and Sphero-Conics». A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions (7th edición). Chelsea. pp. 249-267.
- Story, William Edward (1882). «On non-Euclidean properties of conics». American Journal of Mathematics 5 (1): 358-381. doi:10.2307/2369551.
- Sykes, Gerrit Smith (1877). «Spherical Conics». Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 13: 375-395. doi:10.2307/25138501.
- Tranacher, Harald (2006). Sphärische Kegelschnitte – didaktisch aufbereitet [Spherical conics – didactically prepared] (Tesis) (en alemán). Technischen Universität Wien.
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