Coordenadas elípticas

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Sistema de coordenadas elípticas.

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos y están generalmente fijos en las posiciones y , respectivamente, sobre el eje de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Relación con Coordenadas Cartesianas[editar]

Para un espacio lR2
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:[1]

Φ: lR2 → lR2
(r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)

donde a y b son constantes. Entonces:

x = a r cosφ
y = b r sinφ


Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)

El jacobiano de la transformación es:

J Φ (r,φ) = abr

dA = J Φ (r,φ) = abr dr dφ

En un espacio lR3
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:[2]

x = a r sinφ cosθ
y = b r sinφ sinθ
z = c r cosφ


El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:

J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r2 cos2φsinφ + abc r2 sin3φ = abc r2 sinφ(cos2φ + sin2φ) = abc r2 sinφ

Por lo tanto:

dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r2 sinφ dr dφ dθ

Definición[editar]

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales es:

Donde:

es un número real no negativo y
.

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

muestra que las curvas con constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica:

muestra que las curvas con constante son hipérbolas.

Aplicaciones[editar]

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Relación de coordenadas elípticas con coordenadas cartesianas[1]

  1. a b [1] Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; el nombre "test" está definido varias veces con contenidos diferentes
  2. de cálculo multivariable