Área

Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.​

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,​ así como el cálculo aproximado del número π por niños

Área de figuras planas

Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:​

$A={\frac {b\cdot h}{2}}$

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

donde a y b son los catetos.

Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por

$A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}$

Áreas.

Área de un cuadrilátero

• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:​

$A=a\cdot b\,$

• El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$A={\frac {D\cdot d}{2}}$

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:​

$A=l\cdot l\,=l^{2}$

• El romboide tiene su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:​

$A=b\cdot h\,$

• El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):​

$A={\frac {1}{2}}h(B+d)$

• El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:

$A={\frac {1}{2}}\left(a_{1}a_{2}\sin \alpha +b_{1}b_{2}\sin \beta \right)$

Siendo:

$\alpha \,$ el ángulo comprendido entre los lados $a_{1}\,$ y $a_{2}\,$.

$\beta \,$ el ángulo comprendido entre los lados $b_{1}\,$ y $b_{2}\,$.

Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:​

$A=\pi \cdot r^{2}\,$

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:​

$A=\pi \cdot a\cdot b$

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

$A(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: $f(x)\,$ y $g(x)[<f(x)]\,$ en el intervalo $[a,b]\,$.

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función $f(x)=4-x^{2}$ en el intervalo $[-2;2]$, se utiliza la ecuación anterior, en este caso: $g(x)=0$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

$A(-2,2)=\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=2\left[8-\left({\frac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]={\frac {32}{3}}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es ${\frac {32}{3}}$.

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por una tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

$A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ dx$

Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv$

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superificie en las coordenadas paramétricas u y v.

Unidades de medida de superficies

Sistema métrico (SI)

Múltiplos:

• Kilómetro cuadrado: 10⁶ metros cuadrados
• Hectómetro cuadrado o Hectárea: 10⁴ metros cuadrados
• Decámetro cuadrado o Área: 10² metros cuadrados

Unidad básica:

• metro cuadrado: unidad derivada del SI

Submúltiplos:

• Decímetro cuadrado: 10^-2 metros cuadrados
• Centímetro cuadrado: 10⁻⁴ metros cuadrados
• Milímetro cuadrado: 10⁻⁶ metros cuadrados

• barn: 10⁻²⁸ metros cuadrados

Sistema anglosajón de unidades

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:

• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• acre

Véase también

• Unidad de medida
• Metrología

Bibliografía

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

Enlaces externos

• El problema del área, en fca.unl.edu.ar.
• El valor del área representada gráficamente, en fca.unl.edu.ar.