Diferencia entre revisiones de «Desigualdad matemática»
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En [[matemáticas]], una '''desigualdad''' es una [[relación de orden]] que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una [[igualdad matemática|igualdad]]). |
En [[matemáticas]], una '''desigualdad''' es una [[relación de orden]] que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una [[igualdad matemática|igualdad]]).<ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/inequality.html|title=Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-03}}</ref> |
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Si los valores en cuestión son elementos de un [[conjunto ordenado]], como los [[Numeros enteros|enteros]] o los [[Número real|reales]], entonces pueden ser comparados. |
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En las ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, normalmente en varios [[Orden de magnitud|órdenes de magnitud]]. |
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* La notación ''a'' {{Unicode|≪}} ''b'' significa ''a'' es '''mucho menor que''' ''b''; |
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* La notación ''a'' {{Unicode| |
* La notación ''a'' {{Unicode|≪}} ''b'' significa ''a'' es '''mucho menor que''' ''b'';<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MuchLess.html|title=Much Less|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref> |
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* La notación ''a'' {{Unicode|≫}} ''b'' significa ''a'' es '''mucho mayor que''' ''b'';<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/MuchGreater.html|title=Much Greater|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref>; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.<ref name="Polyanin2006">{{cite book | last1=Polyanin | first1=A.D. | last2=Manzhirov | first2=A.V. | title=Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists | publisher=CRC Press | year=2006 | isbn=978-1-4200-1051-0 | url=https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PR29 | access-date=2021-11-19 | page=29}}</ref> |
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* La notación ''a'' ≠ ''b'' significa que ''a'' '''no es igual''' a ''b''. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. |
* La notación ''a'' ≠ ''b'' significa que ''a'' '''no es igual''' a ''b''. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.<ref name=":1">{{Cite web|url=http://www.learnalberta.ca/content/memg/Division03/Inequality/index.html| title=Inequality| website=www.learnalberta.ca|access-date=2019-12-03}}</ref> |
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Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento '''mayor'''. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento '''menor'''. |
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento '''mayor'''. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento '''menor'''. |
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:* Si ''a < b'' y ''b = c'' entonces ''a < c''.<ref>{{cite book |last1=Drachman |first1=Bryon C. |last2=Cloud |first2=Michael J. |title=Inequalities: With Applications to Engineering |date=2006 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=0-3872-2626-5 |pages=2–3 |url=https://books.google.com/books?id=sIbfBwAAQBAJ}}</ref> |
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=== Adición y sustracción === |
=== Adición y sustracción === |
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=== Multiplicación y división === |
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* Para números reales arbitrarios ''a'' y ''b'', y ''c'' diferente de cero: |
* Para números reales arbitrarios ''a'' y ''b'', y ''c'' diferente de cero: |
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:* <math>|a| \ge b \iff -b \ge a \vee a \ge b </math> |
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== Definiciones formales y generalizaciones == |
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Un '''orden parcial''' (no estricto) es una [[relación binaria]] ≤ sobre un [[Conjunto (matemáticas)|conjunto]] ''P'' que es [[Relación reflexiva|reflexiva]], [[Relación antisimétrica|antisimétrica]], y [[Relación transitiva|transitiva]].<ref>{{cite book|title=Herramientas matemáticas para la minería de datos: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics|author1=Simovici, Dan A.|author2=Djeraba, Chabane|publisher=Springer|year=2008|isbn=9781848002012|chapter=Conjuntos parcialmente ordenados|chapter-url=https://books. google.com/books?id=6i-F3ZNcub4C&pg=PA127|name-list-style=amp}}</ref> Es decir, para todo ''a'', ''b'', y ''c'' en ''P'', debe satisfacer las tres cláusulas siguientes: |
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# ''a'' ≤ ''a'' ([[Relación reflexiva|reflexividad]]) |
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# si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''a'', entonces ''a'' = ''b'' ([[Relación antisimétrica|antisimetría]]) |
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# si ''a'' ≤ ''b'' y ''b'' ≤ ''c'', entonces ''a'' ≤ ''c'' ([[Relación transitiva|transitividad]]) |
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Un conjunto con un orden parcial se denomina '''[[conjunto parcialmente ordenado]]'''.<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/PartiallyOrderedSet.html|title=Conjunto Parcialmente Ordenado|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}</ref> Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden tiene que satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes sobre un conjunto ''P'' incluyen: |
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# Para todo ''a'' y ''b'' en ''P'', ''a'' ≤ ''b'' o ''b'' ≤ ''a'' ([[orden total]]). |
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# Para todo ''a'' y ''b'' en ''P'' para el cual ''a'' < ''b'', hay un ''c'' en ''P'' tal que ''a'' < ''c'' < ''b'' ([[orden denso]]). |
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# Todo [[Conjunto (matemático)|subconjunto]] no vacío de ''P'' con un [[límite superior]] tiene un [[límite superior mínimo| límite superior mínimo]] (supremum) en ''P'' ([[propiedad del límite superior mínimo]]). |
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== Cuerpo ordenado == |
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Revisión del 16:16 20 abr 2023
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).[1]
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
- La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
- La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
En las ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, normalmente en varios órdenes de magnitud.
- La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;[2]
- La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;[3]; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.[4]
- La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.[5]
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la notación a ≮ b.
Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades de transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Inversa
Las relaciones ≤ y ≥ son entre sí conversa, lo que significa que para cualquier número reals a y b: a ≤ b y b ≥ a son equivalentes.
Transitividad
- Para números reales arbitrarios a, b y c:
- Si a > b y b > c entonces a > c.
- Si a < b y b < c entonces a < c.
- Si a > b y b = c entonces a > c.
- Si a < b y b = c entonces a < c.[6]
Adición y sustracción
- Para números reales arbitrarios a,b y c:
- Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
- Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
- Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
- Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
- Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
- Para números reales arbitrarios a y b:
- Si a < b entonces −a > −b.
- Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
- Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
- Si a < b entonces 1/a > 1/b.
- Si a > b entonces 1/a < 1/b.
- Si a y b son de distinto signo:
- Si a < b entonces 1/a < 1/b.
- Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
- Ejemplo
al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.
Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:
Definiciones formales y generalizaciones
Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva, antisimétrica, y transitiva.[7] Es decir, para todo a, b, y c en P, debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:
- a ≤ a (reflexividad)
- si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría)
- si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad)
Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado.[8] Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden tiene que satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes sobre un conjunto P incluyen:
- Para todo a y b en P, a ≤ b o b ≤ a (orden total).
- Para todo a y b en P para el cual a < b, hay un c en P tal que a < c < b (orden denso).
- Todo subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremum) en P (propiedad del límite superior mínimo).
Cuerpo ordenado
Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:
- a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
- 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.
Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.
Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.
Notación encadenada
La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.
Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n.
Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:
- a < b = c ≤ d
significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python.
Desigualdades entre medias
Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a1, a2, …, an, si
entonces: .
Véase también
- Desigualdad lineal
- Inecuación
- Programación lineal
- Teoría del orden
- Categoría:Desigualdades (para una lista de desigualdades conocidas)
Referencias
- ↑ «Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». www.mathsisfun.com. Consultado el 3 de diciembre de 2019.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Much Less». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 3 de diciembre de 2019.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Much Greater». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 3 de diciembre de 2019.
- ↑ Polyanin, A.D.; Manzhirov, A.V. (2006). Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. CRC Press. p. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. Consultado el 19 de noviembre de 2021.
- ↑ «Inequality». www.learnalberta.ca. Consultado el 3 de diciembre de 2019.
- ↑ Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer Science & Business Media. pp. 2-3. ISBN 0-3872-2626-5.
- ↑ Simovici, Dan A.; Djeraba, Chabane (2008). google.com/books?id=6i-F3ZNcub4C&pg=PA127 «Conjuntos parcialmente ordenados». Herramientas matemáticas para la minería de datos: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012. Parámetro desconocido
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ignorado (ayuda) - ↑ {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/PartiallyOrderedSet.html%7Ctitle=Conjunto Parcialmente Ordenado|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}
Bibliografía
- Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.
- Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). Introduction to Inequalities, Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.
- Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.
- Aurelio Baldor, (1975) Álgebra de Baldor, Edime organización gráfica S.S. Madrid. ISBN 84-399-0259-X
- Grinshpan, A. Z. (2005), «General inequalities, consequences, and applications», Advances in Applied Mathematics 34 (1): 71-100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001.
- Murray S. Klamkin. «'Quickie' inequalities». Math Strategies. Archivado desde el original el 9 de octubre de 2022.
- Arthur Lohwater (1982). «Introduction to Inequalities». Online e-book in PDF format.
- Harold Shapiro (2005). «Mathematical Problem Solving». The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
- «3rd USAMO». Archivado desde el original el 3 de febrero de 2008.
- Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library 67 (first edición). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008.
- Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
- Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.
Enlaces externos
- Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Inequality (mathematics)» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.