Teorema de Stokes

En geometría diferencial, el teorema de Stokes, también llamado teorema de Stokes-Thomson, es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial en variedades diferenciables. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.​​​ Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre.​​

Introducción

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:

• Para la F elegida, ${\frac {dF}{dx}}=f$. En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores $\omega$ en vez de F.

• En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

• Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando f en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).

Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:

$\int _{(a,b)}f(x)\,dx=\int _{(a,b)}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)$

Por otro lado, el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones: relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple. Es decir:

$\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot dA=\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

De forma similar, el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:

$\iint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\iiint _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV$

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función «derivada» sobre el interior de la región limitada por la frontera.

Formulación general

Dada una variedad diferenciable $X$ de dimensión $n$, y dada $\Omega$ una variedad con borde en $X$, si $\omega$ es una $(n-1)$-forma, entonces se cumple que

$$\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.$$

Aquí, $\mathrm {d}$ es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.^{[cita requerida]}

El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.

El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.

Casos Particulares

Teorema de Kelvin-Stokes

Sea $S$ una superficie orientada por un vector unitario normal $\mathbf {n}$, acotada por una curva cerrada simple suave a trozos $C$ con orientación positiva. Si $\mathbf {F}$ es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a $S$ y a $C$ entonces

$$\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {S}$$

donde $C=\partial S$.

El teorema de Kelvin-Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie $S$ en $\mathbb {R} ^{3}$ con la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con $n=2$).

Teorema de Green

El teorema de Green

$$\oint _{\partial D}M\;dx+N\;dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)dA$$

es un caso particular en $\mathbb {R} ^{2}$ del teorema de Kelvin-Stokes.

Teorema de la divergencia

Asimismo, el Teorema de Gauss

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \ dV=\iint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \;d\mathbf {S}$$

es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.

Véase también

• Teorema de Green
• Teorema de la divergencia
• Planímetro

Enlaces externos

• Artículo donde se aplica el teorema de Stoke en el estudio de las pastillas de una guitarra eléctrica

• Datos: Q467756
• Multimedia: Stokes' theorem / Q467756