Teoría de distribuciones

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Engranajes
Uno o más wikipedistas están trabajando actualmente en extender este artículo.
Es posible que, a causa de ello, haya lagunas de contenido o deficiencias de formato. Por favor, antes de realizar correcciones mayores o reescrituras, contacta con ellos en su página de usuario o en la página de discusión del artículo para poder coordinar la redacción.

En Análisis matemático una distribución, también llamada función generalizada, es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. En particular, sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las Matemáticas, la Física y la Ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el Análisis de Fourier o para obtener soluciones generalizadas de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). También juegan un papel muy importante en Electrodinámica Cuántica y en Procesamiento de señales.

Las "funciones generalizadas" fueron introducidas por Sergei Sobolev en 1935. Independientemente y a finales de la decada de 1940 Laurent Schwartz formalizó la teoría de distribuciones, lo que le valió la Medalla Fields en 1950.

Tabla de contenidos

[editar] Introducción

En diversos ejemplos físicos idealizados aparecían objetos matemáticos similares a las funciones convencionales cuyo uso parecía daba soluciones consistentes a diversos problemas físicos, pero que no podían ser tratados como funciones matemáticas convencionales. Varios de estos problemas eran:

  • En ciertos problemas era necesario considerar objetos que se comportaran como la "derivada" de una función discontinua. Obviamente en ese tipo de problemas las derivadas convencionales no estaban definidas, pero existían substituciones formales que sugerían que el concepto de función matemática debía ser ampliado para incluir objetos que pudieran comportarse como la derivada convencional, pero que fuera además aplicable a funciones discontinuas.
  • Igualmente Dirac introdujo un objeto matemático δ que debía tener la siguiente propiedad:


f(a) = \int_\R \delta(x-a)f(x) \ dx


Aunque ese objeto matemático compartía ciertas propiedades con las funciones referente a su integración, se podía probar que no existía ninguna función matemática convencional δ que fuera solución de la anterior ecuación.

Los dos problemas anteriores están por ejemplo relacionados, y la teoría de distribuciones vino a probar que pueden definirse un tipo de funciones generalizadas o distribuciones tales que resuelven los dos problemas anteriores. Además toda función matemática convencional puede ser considerada también como una distribución.

[editar] Definición formal

Una distribución convencional sobre \Omega\; es un elemento del espacio dual topológico del espacio vectorial de funciones de clase C^\infty(\Omega) sobre un cierto conjunto \Omega \subset \R^n cuyo soporte es compacto en ese conjunto. Es decir, una distribución es una función lineal y continua definida sobre un cierto espacio de funciones diferenciables definidas sobre conjuntos cerrados contenidos en \Omega\;. Las funciones definidas sobre el conjunto \Omega\; se llama espacio de funciones test.

En el caso de las distribuciones convencionales sobre Ω se requieren dos condiciones sobre las funciones test definidas sobre Ω:

  • Deben ser infinitamente diferenciables, es decir de clase, C^\infty.
  • Deben ser funciones cuyo soporte sea compacto.

Si se relajan las condiciones sobre la funciones definidas sobre \Omega\; entonces se obtiene una clase de distribuciones menos amplia que las distribuciones convencionales. Por ejemplo si se substituye la segunda condición por la siguiente condición:

La clase de distribuciones obtenidas se llama distribuciones temperadas.

[editar] Soporte compacto

  • Decimos que una función de test φ tiene soporte compacto si el conjunto de puntos K = {x|no φ(x)=0} donde la función es diferente de cero es compacto.
  • Decimos que una distribución S tiene soporte compacto si existe un conjunto compacto K de U tal que para cada función test φ cuyo soporte no intersecta K se tiene que S(φ) = 0. Alternativamente podemos definir las distribuciones de soporte compacto como funciones lineales continuas sobre el espacio C∞(U), con una topología definida sobre este espacio por la convergencia uniforme.

[editar] Derivada de una distribución

El concepto de derivada distribucional o derivada en el sentido de las distribuciones extiende el concepto de derivada o diferenciación ordinario a distribuciones y funciones no continuas. Esta extensión se realiza a partir del procedimiento de integración por partes. Dada una distribución o función discontinua f\; su derivada en el sentido de las distribuciones se define simplemente como la única función f'\; que satisface:

\forall \phi: (f',\phi) := \int_\Omega f'\phi = -\int_\Omega f\phi' = -(f,\phi')

Algunos ejemplos de derivadas en el sentido distribucional son:

  1. La función salto de Heaviside θ(x) tiene por derivada la delta de Dirac: \theta'(x) = \delta(x)\,
  2. La derivada en el sentido de las distribuciones de una función diferenciable coincide con su derivada ordinaria.

[editar] Convolución

Dadas dos distribuciones S y T definidas sobre algún subconjunto de \R^n y una de ellas tiene soporte compacto se puede definir una nueva distribución llamada convolución de S y T, que se denota mediante S ∗ T, definida como sigue: Si φ es una función test sobre D(\R^n) definimos:

\phi_x(y):= \phi(x+y), \qquad \psi:= T(\phi_x), \qquad (S*T)(\phi):= S(\psi)

La última de estas tres definiciones generaliza el producto de convolución clásico de funciones. Además este producto tiene, también para distribuciones, la propiedad de ser compatible con la derivada en el sentido siguiente:

\frac{d(S*T)}{dx} = \frac{dS}{dx}*T + S*\frac{dT}{dx}

Esta definición de convolución sigue siendo válida aún si se relajan las restricciones sobre S y T.[1] [2]

[editar] Distribuciones convencionales

Las distribuciones convencionales son el dual topológico de las funciones suaves de soporte compacto C^\infty_0(\R^n). Dada una sucesión en el conjunto C^\infty_0(\R^n), se define la siguiente convergencia:

\phi_j \xrightarrow{\mathcal{D}} \psi\,

Si y sólo si:

  1. Existe un conjunto acotado B que contiene los soportes de todas la funciones \phi_j\,.
  2. La sucesión \phi_j(x)\, converge uniformemente a \psi_(x)\, en B.

Ese tipo de convergencia convierte al conjunto C^\infty_0(\R^n) en un espacio topológico \mathcal{D} = (C^\infty_0(\R^n),\mathcal{T}). Las distribuciones convencionales serán por tanto las funciones continuas respecto a dicha convergencia (o equivalentemente la topología generada). Es decir si f es una distribución convencional se cumplirá que:[3]

\phi_j \xrightarrow{\mathcal{D}} \psi \qquad \Longrightarrow \qquad f(\phi_j) \xrightarrow{\mathcal{D}} f(\psi)

[editar] Distribuciones temperadas

Las distribuciones temperadas constituyen una subclase de distribuciones convencionales. Técnicamente son el dual topológico del espacio de Schwartz, formado por funciones suaves de decrecimiento rápido.

[editar] Transformada de Fourier

Artículo principal: Transformada de Fourier

La transformada de Fourier se define como aplicación lineal biyectiva y continua u homeomorfismo lineal del espacio de distribuciones temperadas. La fórmula de cálculo usual viene dada por:

\mathcal{F}[f](\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx

[editar] Referencias

  1. ↑ I.M. Gel'fand and G.E. Shilov, Generalized Functions, v. 1, Academic Press, 1964, pp. 103--104.
  2. ↑ J.J. Benedetto, Harmonic Analysis and Applications, CRC Press, 1997, Definition 2.5.8.
  3. ↑ Richtmyer, 1978, p. 24
  • Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.
  • M. J. Lighthill (1958): Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
  • L. Schwartz (1954): Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions, C.R.Acad. Sci. Paris 239, pp 847-848.
Icono de esbozo
 El contenido de esta página es un esbozo sobre matemática.
Ampliándolo ayudarás a mejorar Wikipedia. Puedes ayudarte con las wikipedias en otras lenguas.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_distribuciones"
Herramientas personales