Función localmente integrable

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En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto compacto contenido en su dominio de definición. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal[editar]

Más formalmente, sea \scriptstyle \Omega un conjunto abierto del espacio euclídeo \scriptstyle\R^n y sea \scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C} una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

 \int_K | f| dx \,

es finita para todo conjunto compacto K \subset \Omega, entonces f es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

L^1_{loc}(\Omega)

Propiedades[editar]

Teorema. Toda función \scriptstyle f del espacio L^p(\Omega), \scriptstyle 1\leq p\leq+\infty, donde \Omega es un conjunto abierto de \scriptstyle\mathbb{R}^n es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica \scriptstyle\chi_K de un conjunto compacto\scriptstyle K de \Omega: entonces, para \scriptstyle p\leq+\infty

\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q dx}\right|^{1/q}=\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

donde

  • q es un número positivo tal que 1/p+1/q=1para un p dado tal que \scriptstyle 1\leq p\leq+\infty
  • \mu(K) es la medida de Lebesgue del conjunto compacto K

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

{\int_K|f|dx}={\int_\Omega|f\chi_K|dx}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p dx}\right|^{1/p}\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

Y por tanto:

f\in L^1_{loc}(\Omega)

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

{\int_K|f|dx}={\int_\Omega|f\chi_K|dx}\leq\left|{\int_K|f|^p dx}\right|^{1/p}\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

la afirmación se sigue también para funciones fque pertenecen al espacio L^p(K) para cada conjunto compacto K de \Omega.

Referencia[editar]