Operación binaria

Se define como operación binaria (o ley de composición)​ aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo $\circledcirc$, es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times B&\to &C\\&(a,b)&\to &c\end{array}}$

Podemos expresar la operación:

$a\circledcirc b=c\;,\quad \circledcirc (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circledcirc }}c$

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:

${\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\to &N\\&(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}$

y tenemos que:

$2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5$

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Clase de operación binaria

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

Operación interna

Si a cada par de valores (a, b) de $A^{2}$ la operación le corresponde un valor c de A:

${\begin{array}{rccl}\circledast :&A\times A&\to &A\\&(a,b)&\to &c=a\circledast b\end{array}}$

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones $V^{3}$ y la adición de vectores, se tiene:

${\begin{array}{rccl}+:&V^{3}\times V^{3}&\to &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\to &\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \end{array}}$

que la suma de dos vectores de $V^{3}$ es otro vector de $V^{3}$, por ejemplo, dados los vectores:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}$

su suma es:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$

$\mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

$\mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k}$

$\mathbf {c} =c_{x}\mathbf {i} +c_{y}\mathbf {j} +c_{z}\mathbf {k}$

Operación externa

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,

${\begin{array}{rcl}\star :\;A\times B&\to &A\\(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}$

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

${\begin{array}{rcl}\cdot :\;V^{3}\times R&\to &V^{3}\\(\mathbf {a} ,b)&\to &\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\end{array}}$

así, dado el vector:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k}$

• Si la operación es de la forma:

${\begin{array}{rcl}\star :\;A\times A&\to &B\\(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}$

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

${\begin{array}{rcl}\circ :\;V^{3}\times V^{3}&\to &R\\(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\to &c=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \end{array}}$

así dados los vectores:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}$

su producto escalar será:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}$

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:

${\begin{array}{rcl}\star :\;A\times B&\to &C\\(a,b)&\to &c=a\star b\end{array}}$

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional

${\begin{array}{rcl}/:\;Z\times N&\to &Q\\(a,b)&\to &c=a/b\end{array}}$

Véase también

• Operador
• Operación nularia
• Operación unaria
• Operación ternaria
• Propiedades de las operaciones binarias

• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento simétrico
• Distributividad
• Tabla de multiplicar

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Binary Operation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.