Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores $v_{1},\dots ,v_{n}$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por $G_{ij}=(v_{i}|v_{j})$. Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

• Es hermítica o hermitiana, según lo que postula Charles Hermite

$g_{ij}=g_{ji}^{*}$

En caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

$g_{ij}=g_{ji}$

• Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
• Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

$|G_{i}|>0\quad i=1,\dots ,n;{\text{ siendo }}G_{i}={\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots &g_{1i}\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{i1}&\cdots &g_{ii}\\\end{pmatrix}}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

Determinante de Gram

El determinante de Gram o gramiano $\scriptstyle G(x_{1},\dots ,x_{n})$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores:

$G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{vmatrix}}$

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio $L^{2}$, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ (que es un subespacio de $L^{2}([a,b])$).

Dada una función de variable real $\{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ definida en el intervalo $[t_{0},t_{f}]$, la matriz de Gram $G=[G_{ij}]$, se define como el producto escalar estándar de funciones: $G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau$.

Dada una matriz A, la matriz $A^{\mathrm {T} }A$ es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz $AA^{\mathrm {T} }$ es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores $v_{1},\dots ,v_{n}$, como $G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,$. Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

Enlaces externos

• Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2008. 

• Datos: Q1409400