Matriz de Gram

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En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por . Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades[editar]

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

En caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

Aplicaciones[editar]

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.


Determinante de Gram[editar]

El determinante de Gram o gramiano de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n2 productos escalares formados con esos vectores:

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos[editar]

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio , tales como funciones continuas en un intervalo cerrado (que es un subespacio de ).

Dada una función de variable real definida en el intervalo , la matriz de Gram , se define como el producto escalar estándar de funciones: .

Dada una matriz A, la matriz es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores , como . Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

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